Partie positive et partie négative d'une fonction

Tracé de la fonction f(x) = x^2 - 4 (à gauche), de sa partie positive (droite, en vert) et négative (à droite en rouge).

En mathématiques, à toute fonction réelle f, on peut associer deux fonctions positives, sa partie positive f⁺ et sa partie négative f⁻, définies respectivement par :

$f^{+}(x)=\max(f(x),\,0)={\begin{cases}f(x)&\mathrm {si} \ f(x)>0\\0&\mathrm {sinon} ,\end{cases}}$

$f^{-}(x)=-\min(f(x),\,0)={\begin{cases}-f(x)&\mathrm {si} \ f(x)<0\\0&\mathrm {sinon} .\end{cases}}$

Malgré son nom, la « partie négative » est donc positive.

Intuitivement, le graphe par exemple de la partie positive est obtenu en tronquant le graphe de f quand il passe sous l'axe des abscisses, c'est-à-dire encore en posant 0 en ces points et en laissant inchangé le reste du graphe.

Relations avec la fonction initiale

Les parties positive et négative sont liées à la fonction initiale par les deux relations suivantes :

$f=f^{+}-f^{-},$

$|f|=f^{+}+f^{-}.$

À partir de ces deux parties on peut exprimer les parties positives et négatives par :

$f^{+}={\frac {|f|+f}{2}},$

$f^{-}={\frac {|f|-f}{2}}.$

Une autre relation, utilisant les crochets de Iverson est :

$f^{+}=[f>0]f,$

$f^{-}=-[f<0]f.$

La décomposition d'une fonction quelconque en deux fonctions positives se révèle utile par exemple en théorie de l'intégration.

Partie positive et partie négative d'un réel

La partie positive x⁺ et la partie négative x^– d'un nombre réel x sont les deux réels positifs définis par :

$x^{+}=\max(x,\,0),$

$x^{-}=-\min(x,\,0).$

On en déduit les mêmes types de relation que pour les fonctions :

$x=x^{+}-x^{-},$

$|x|=x^{+}+x^{-},$

ainsi que :

$x^{+}={\frac {|x|+x}{2}},$

$x^{-}={\frac {|x|-x}{2}}.$

Les parties positive et négative d'une fonction f sont donc simplement ses composées par les applications x ↦ x⁺ et x ↦ x⁻ respectivement.

Liens externes

(it) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en italien intitulé « Parte positiva e parte negativa di una funzione » (voir la liste des auteurs).

• (en) John Renze, « Positive Part », sur MathWorld
• (en) John Renze, « Negative Part », sur MathWorld