Algèbre cylindrique

En mathématiques, la notion d'algèbre cylindrique, inventée par Alfred Tarski, est survenue naturellement dans l'algébrisation de la logique du premier ordre équationnelle.

Définition d'une algèbre cylindrique[modifier | modifier le code]

Une algèbre cylindrique de dimension $\alpha$ (où $\alpha$ est un nombre ordinal) est une structure algébrique $(A,+,\cdot ,-,0,1,c_{\kappa },d_{\kappa \lambda })_{\kappa ,\lambda <\alpha }$ tel que $(A,+,\cdot ,-,0,1)$ est une algèbre booléenne, $c_{\kappa }$ un opérateur unaire sur $A$ pour tout $\kappa$ , et $d_{\kappa \lambda }$ un élément distingué de $A$ pour tout $\kappa$ et $\lambda$ , de telle sorte que:

(C1) $c_{\kappa }0=0$

(C2) $x\leq c_{\kappa }x$

(C3) $c_{\kappa }(x\cdot c_{\kappa }y)=c_{\kappa }x\cdot c_{\kappa }y$

(C4) $c_{\kappa }c_{\lambda }x=c_{\lambda }c_{\kappa }x$

(C5) $d_{\kappa \kappa }=1$

(C6) Si $\kappa \notin \{\lambda ,\mu \}$ , alors $d_{\lambda \mu }=c_{\kappa }(d_{\lambda \kappa }\cdot d_{\kappa \mu })$

(C7) Si $\kappa \neq \lambda$ , alors $c_{\kappa }(d_{\kappa \lambda }\cdot x)\cdot c_{\kappa }(d_{\kappa \lambda }\cdot -x)=0$

En supposant une présentation de la logique du premier ordre sans symboles de fonction, l'opérateur $c_{\kappa }x$ modélise quantification existentielle sur la variable $\kappa$ dans la formule $x$ tandis que l'opérateur $d_{\kappa \lambda }$ l'égalité des modèles des variables $\kappa$ et $\lambda$ . Désormais, reformulé en utilisant les notations logiques standard, les axiomes peuvent se lire ainsi

(C1) $\exists \kappa .{\mathit {faux}}\Leftrightarrow {\mathit {faux}}$

(C2) $x\Rightarrow \exists \kappa .x$

(C3) $\exists \kappa .(x\wedge \exists \kappa .y)\Leftrightarrow (\exists \kappa .x)\wedge (\exists \kappa .y)$

(C4) $\exists \kappa \exists \lambda .x\Leftrightarrow \exists \lambda \exists \kappa .x$

(C5) $\kappa =\kappa \Leftrightarrow {\mathit {vrai}}$

(C6) Si $\kappa$ est une variable différente de $\lambda$ et $\mu$ , alors $\lambda =\mu \Leftrightarrow \exists \kappa .(\lambda =\kappa \wedge \kappa =\mu )$

(C7) Si $\kappa$ et $\lambda$ sont différents entre elles, alors $\exists \kappa .(\kappa =\lambda \wedge x)\wedge \exists \kappa .(\kappa =\lambda \wedge \neg x)\Leftrightarrow {\mathit {faux}}$

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cylindric algebra » (voir la liste des auteurs).
Leon Henkin, Monk, J.D., et Alfred Tarski (1971) Cylindric Algebras, Partie I. North-Holland. (ISBN 978-0-7204-2043-2).
-------- (1985) Cylindric Algebras, Partie II. North-Holland.
(en) Recent trends in algebraic development techniques : 18th International Workshop, WADT 2006, La Roche en Ardenne, Belgium, June 1-3, 2006, Revised Selected Papers, Springer, coll. « Lecture notes in computer science » (n^o 4409), 2007 (ISBN 978-3-540-71997-7, DOI 10.1007/978-3-540-71998-4_2, lire en ligne), « On the algebraization of many-sorted logics », p. 21-36