Action de Proca

En physique, plus précisément en théorie des champs en physique des particules, l’action de Proca décrit un champ massif de spin-1 dans l'espace-temps de Minkowski. L'équation du mouvement associée est une équation d'onde relativiste appelée l'équation de Proca^[1]. L'action et l'équation de Proca sont nommés d'après le physicien franco-roumain Alexandru Proca.

L'équation de Proca apparaît dans le modèle Standard dans lequel elle décrit les bosons de jauge massifs, c'est-à-dire les bosons Z et W.

Cet article utilise la signature (+−−−) de la métrique et la notation tensorielle dans le langage des 4-vecteurs.

Densité lagrangienne[modifier | modifier le code]

Le champ de jauge considéré est complexe et est associé au 4-vecteur potentiel B^μ = (φ/c, A), où φ est un potentiel électrique, A un potentiel vecteur généralisé. Le champ $B^{\mu }$ se transforme comme un 4-vecteur.

La densité lagrangienne est donnée par^[2] :

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.

où c est la vitesse de la lumière, ħ est la constante de Planck réduite, m est la masse du champ de jauge et ∂_μ est le 4-gradient.

L'équation[modifier | modifier le code]

Les équations d'Euler-Lagrange, donnent l'équation de Proca :

\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=0

En appliquant ∂_ν à l'équation du dessus, on obtient un condition, dite de Jauge de Lorenz (bien que ce ne soit pas une transformation de jauge) généralisée aux champs de jauge massifs,

$\partial _{\mu }B^{\mu }=0$

l'équation de Proca se réduit alors à ^[3] :

\left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]B^{\nu }=0

Lorsqu'il n'y a pas de source, chaque composante du 4-vecteur potentiel est alors régie par l'équation de Klein-Gordon complexe. Lorsque m = 0, les équations se réduisent aux équations de Maxwell dans le vide.

L'équation de Proca correspond à quatre équations, que l'on peut décomposer en une équation scalaire (la partie temporelle $\mu =0$ ) et une équation vectorielle ( $\mu =i$ ) :

\Box \phi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi \!

\Box \mathbf {A} +\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {A} \!

où $\Box$ est le D'alembertien.

Fixage de jauge[modifier | modifier le code]

L'action de Proca est une version de l'action de Stueckelberg avec fixage de jauge via le mécanisme Higgs. Quantifier l'action de Proca requiert l'utilisation de contraintes de seconde classe.

Si $m\neq 0$ , le 4-vecteur potentiel n'est pas invariant sous une transformation de jauge similaire à celle utilisée en électromagnétisme :

{\displaystyle B^{\mu }\rightarrow B^{\mu }-\partial ^{\mu }f}

où $f$ est une fonction arbitraire.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ La Physique des particules (2e Édition), B. R. Martin, G. Shaw, Manchester Physique, John Wiley & Sons, 2008, (ISBN 978-0-470-03294-7)
↑ W. Greiner, "Relativiste de la mécanique quantique", Springer, p. 359, (ISBN 3-540-67457-8)
↑ McGraw Hill Encyclopédie de la Physique (2e Édition), C. B. Parker, 1994, (ISBN 0-07-051400-3)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Portail de la physique

[1] La Physique des particules (2e Édition), B. R. Martin, G. Shaw, Manchester Physique, John Wiley & Sons, 2008, (ISBN 978-0-470-03294-7)

[2] W. Greiner, "Relativiste de la mécanique quantique", Springer, p. 359, (ISBN 3-540-67457-8)

[3] McGraw Hill Encyclopédie de la Physique (2e Édition), C. B. Parker, 1994, (ISBN 0-07-051400-3)

[1]

[2]

[3]