Indice de Sobol

En analyse de sensibilité, les indices de Sobol sont des indices de sensibilité d'une variable de sortie à une variable d'entrée. Ils sont nommés d'après le mathématicien russe Ilya Meïérovitch Sobol.

Soit un modèle que l'on exprime par une fonction f associant à des variables aléatoires X_i, i∈⟦1,n⟧ la variable aléatoire Y . Le i^ème indice de sensibilité de premier ordre est défini par : $S_{i}={\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}$Il s'agit d'un indice de sensibilité basé sur une décomposition de variance. Les indices de Sobol se généralisent aux ordres supérieurs (ils quantifient alors la variance attribuée à l'interaction entre paramètres) et même dans le cas de paramètres dépendants.

Indices de Sobol

Premier ordre

$S_{i}={\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}$

Ordre total

$ST_{i}=1-{\frac {\mathbf {Var} \left[\mathbf {E} \left[Y|X_{\sim }{i}\right]\right]}{\mathbf {Var} \left[Y\right]}}$

Les indices généralisés

Lorsque la sensibilité du modèle doit être faite sur des séries temporelles, on peut utiliser les indices de Sobol généralisés:

$GSI_{i}=\sum _{t=1}^{N}{\frac {\mathbf {Var} \left[Y(t)\right]}{\sum _{t_{2}=1}^{N}\mathbf {Var} \left[Y(t_{2})\right]}}\cdot S_{i}(t)$

Algorithme de calcul

Plusieurs algorithmes ont été présentés par Saltelli pour calculer les indices de premier ordre et d'ordre total.