Nombre oblong

En arithmétique géométrique, un nombre oblong, ou nombre pronique ou nombre hétéromécique, est le produit de deux entiers naturels consécutifs, c’est-à-dire, n(n + 1).

Le n-ième nombre oblong est donc le double du n-ième nombre triangulaire.

Les vingt premiers nombres oblongs sont : 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342 et 380 (suite A002378 de l'OEIS).

Propriétés

Le n-ième nombre oblong n² + n est aussi la somme des n premiers entiers strictement positifs pairs, et la différence entre (2n – 1)² et le n-ième nombre hexagonal centré.

Tout nombre oblong est pair donc le seul nombre premier oblong est 2. C'est aussi le seul nombre oblong dans la suite de Fibonacci (à part F₀ = 0) et dans celle des nombres de Lucas.

Deux entiers consécutifs sont premiers entre eux. Par conséquent, le nombre oblong n(n + 1) est sans carré si et seulement si n et n + 1 le sont, et son nombre de diviseurs premiers distincts est la somme de ceux de n et n + 1.

La somme des n premiers nombres oblongs, S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ n(n + 1), vaut S(n) = n(n + 1)(n + 2)/3. Cette propriété peut être généralisée à des proniques du type n(n + 1)(n + 2) : voir « Calcul ombral ».

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pronic number » (voir la liste des auteurs).
• (en) Eric W. Weisstein, « Pronic Number », sur MathWorld