Opérateur de Householder

En algèbre linéaire, l'opérateur de Householder est défini comme suit. Soit $V\,$un espace vectoriel dit préhilbertien de dimension finie, avec une loi de composition interne $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ et un vecteur unitaire noté $u\in V$. Alors l'opérateur de Householder

$H_{u}:V\to V\,$

est défini par

$H_{u}(x)=x-2\,\langle x,u\rangle \,u\,$

Cet opérateur reflète le vecteur $x$ selon un plan donné par le vecteur normal $u$.

Il est également courant de choisir un vecteur non unitaire $q\in V$, et de le normaliser directement dans l'expression de l'opérateur Householder comme suit :

$H_{q}\left(x\right)=x-2\,{\frac {\langle x,q\rangle }{\langle q,q\rangle }}\,q\,$

Propriétés

L'opérateur de Householder vérifie les propriétés suivantes :

• il est linéaire ; si $V$ est un espace vectoriel sur un champ $K$, alors

$\forall \left(\lambda ,\mu \right)\in K^{2},\,\forall \left(x,y\right)\in V^{2},\,H_{q}\left(\lambda x+\mu y\right)=\lambda \ H_{q}\left(x\right)+\mu \ H_{q}\left(y\right)$

• il est autoadjoint
• si $K=\mathbb {R}$, alors il est orthogonal, et s $K=\mathbb {C}$ il est unitaire.

Cas particuliers

Sur un espace vectoriel réel ou complexe, l'opérateur de Householder est également connu sous le nom de transformation de Householder.