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La 2-forme de courbure est une forme différentielle induite par une forme de connexion sur un fibré principal dans le domaine de la géométrie différentielle .
Définition
Soient :
G
{\displaystyle G}
, un groupe de Lie ;
g
:=
L
i
e
(
G
)
:=
T
e
G
{\displaystyle {\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G}
, l'algèbre de Lie de
G
{\displaystyle G}
;
B
{\displaystyle B}
, une variété différentielle ;
π
:
P
→
B
{\displaystyle \pi :P\to B}
, un
G
{\displaystyle G}
-fibré principal sur
B
{\displaystyle B}
;
A
d
:
G
→
A
u
t
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
, la représentation adjointe de
G
{\displaystyle G}
sur son algèbre de Lie
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
;
A
d
P
:=
P
×
A
d
g
{\displaystyle \mathrm {Ad} P:=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}}
, le fibré adjoint de
P
{\displaystyle P}
sur
B
{\displaystyle B}
;
∧
:
Ω
p
(
P
;
R
)
×
Ω
q
(
P
;
R
)
→
Ω
p
+
q
(
P
;
R
)
{\displaystyle \wedge :\Omega ^{p}(P;\mathbb {R} )\times \Omega ^{q}(P;\mathbb {R} )\to \Omega ^{p+q}(P;\mathbb {R} )}
le produit extérieur sur les
k
{\displaystyle k}
-formes différentielles réelles sur
P
{\displaystyle P}
;
[
⋅
,
⋅
]
:
g
×
g
→
g
{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
le crochet de Lie sur l'algèbre de Lie
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
;
[
⋅
∧
⋅
]
:
Ω
p
(
P
;
g
)
×
Ω
q
(
P
;
g
)
→
Ω
p
+
q
(
P
;
g
)
{\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]:\Omega ^{p}(P;{\mathfrak {g}})\times \Omega ^{q}(P;{\mathfrak {g}})\to \Omega ^{p+q}(P;{\mathfrak {g}})}
le produit wedge-crochet sur les
k
{\displaystyle k}
-formes différentielles à valeurs en
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
sur
P
{\displaystyle P}
, défini par les combinaisons linéaires de :
[
(
α
1
⊗
ξ
1
)
∧
(
α
2
⊗
ξ
2
)
]
:=
(
α
1
∧
α
2
)
⊗
[
ξ
1
,
ξ
2
]
,
∀
α
1
∈
Ω
p
(
P
;
R
)
,
α
2
∈
Ω
q
(
P
;
R
)
,
ξ
1
,
ξ
2
∈
g
{\displaystyle [(\alpha _{1}\otimes \xi _{1})\wedge (\alpha _{2}\otimes \xi _{2})]:=(\alpha _{1}\wedge \alpha _{2})\otimes [\xi _{1},\xi _{2}],\qquad \forall \alpha _{1}\in \Omega ^{p}(P;\mathbb {R} ),\;\alpha _{2}\in \Omega ^{q}(P;\mathbb {R} ),\;\xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}}
;
A
∈
Ω
1
(
P
;
g
)
{\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}
, une 1-forme de connexion sur
P
{\displaystyle P}
.
La 2-forme de courbure sur
P
{\displaystyle P}
de la 1-forme de connexion
A
{\displaystyle A}
est par définition :
F
A
♯
=
(
d
A
)
h
o
r
=
(
d
A
)
(
h
o
r
(
⋅
)
,
h
o
r
(
⋅
)
)
{\displaystyle F_{A}^{\sharp }=(dA)_{\mathrm {hor} }=(dA)(\mathrm {hor} (\cdot ),\mathrm {hor} (\cdot ))}
.
La 2-forme de courbure sur
P
{\displaystyle P}
peut aussi s'écrire comme :
F
A
♯
:=
d
A
+
1
2
[
A
∧
A
]
∈
Ω
2
(
P
;
g
)
{\displaystyle F_{A}^{\sharp }:=dA+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})}
.
La 2-forme de courbure étant une forme basique , elle descend à la 2-forme de courbure sur
B
{\displaystyle B}
:
F
A
∈
Ω
2
(
B
;
A
d
P
)
{\displaystyle F_{A}\in \Omega ^{2}(B;\mathrm {Ad} P)}
.
Exemples
En préquantification , la 2-forme de courbure du fibré préquantique est proportionnelle à la forme symplectique .
Le tenseur électromagnétique de Maxwell est la 2-forme de courbure d'une connexion venant d'un
U
(
1
)
{\displaystyle \mathrm {U} (1)}
-fibré principal sur l'espace-temps .
Dans la théorie de jauge , la théorie de Yang-Mills , la théorie de Chern-Simons , la 2-forme de courbure joue un rôle primordial.
Le tenseur de courbure de Riemann en géométrie riemannienne est un autre exemple de 2-forme de courbure.
Références