Représentation adjointe

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Tout groupe de Lie connexe G admet une représentation naturelle, appelée représentation adjointe dont l'introduction est liée à la définition de son algèbre de Lie. La forme bilinéaire associée est la forme de Killing.

À tout élément x de G est associé l'automorphisme intérieur défini par : . Cette application est un automorphisme de groupe de Lie. Sa différentielle en l'élément neutre est une application linéaire

désigne l'espace tangent de G en son élément neutre. D'autre part ad(x) est inversible, d'inverse ad(x-1) ; ad est donc à valeurs dans le groupe linéaire de . L'application est un morphisme de groupes de Lie : c'est la représentation adjointe.

.

La représentation adjointe sert notamment à définir une structure d'algèbre de Lie sur . La différentielle de la représentation adjointe en l'élément neutre fournit une application différentiable :

.

On définit le crochet de Lie de deux vecteurs X et Y par :