Inégalités de Newton

En mathématiques, les inégalités de Newton sont nommées d'après Isaac Newton. Soient a₁, a₂... a_n des réels et pour k = 1, 2… , n le polynôme symétrique $\sigma _{k}$en les a₁, a₂... a_n. Alors, la moyenne symétrique S_k, est donnée par

$S_{k}={\frac {\sigma _{k}}{\binom {n}{k}}}$

satisfait l'inégalité

$S_{k-1}S_{k+1}\leq S_{k}^{2}$

Si tous les a_i sont non-nuls, alors il y a égalité si et seulement si tous les a_i sont égaux. S₁ est la moyenne arithmétique, et S_n est la n-ième puissance de la moyenne géométrique.

Articles connexes

• Inégalité de Maclaurin

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Newton's inequalities » (voir la liste des auteurs).

• Isaac Newton, Arithmetica universalis: sive de compositione et resolutione arithmetica liber, 1707
• Mathématiques de la matrice DS Bernstein : Théorie, faits et formules (2009, Princeton) p.   55
• Maclaurin, « A second letter to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra, », Philosophical Transactions, vol. 36, n^os 407–416,‎ 1729, p. 59–96 (DOI 10.1098/rstl.1729.0011)
• Whiteley, « On Newton's Inequality for Real Polynomials », The American Mathematical Monthly, The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 8, vol. 76, n^o 8,‎ 1969, p. 905–909 (DOI 10.2307/2317943, JSTOR 2317943)
• Niculescu, « A New Look at Newton's Inequalities », Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 1, n^o 2,‎ 2000 (lire en ligne)