Équations de Hamilton-Jacobi

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En mécanique hamiltonienne, les équations de Hamilton-Jacobi sont des équations associées à une transformation du hamiltonien dans l'espace des phases, et qui permettent de simplifier la résolution des équations du mouvement.

Transformations canoniques[modifier | modifier le code]

Une transformation canonique est une transformation de l'espace des phases qui conserve les équations canoniques :

(On note .)

On peut montrer qu'une transformation est canonique si et seulement si elle préserve les crochets de Poisson fondamentaux :

Fonctions génératrices[modifier | modifier le code]

L'action peut s'écrire en fonction des variables de l'espace des phases :

Or les équations canoniques vérifiées par impliquent que f vérifie les équations d'Euler-Lagrange :

On a donc stationnarité de l'action si et seulement si vérifie les équations canoniques, et de même pour . On en déduit que si H et K vérifient leurs équations canoniques, on a stationnarité des actions correspondantes, soit :

d'où la condition dite d'invariance :

Une telle fonction F est appelée fonction génératrice de la transformation .

Fonction principale de Hamilton, équation de Hamilton-Jacobi[modifier | modifier le code]

On note N le nombre de degrés de liberté du système, représentent 4N variables, qui sont reliées entre elles par les 2N relations de la transformation . On a donc 2N variables indépendantes, et donc plusieurs choix pour les variables de la fonction génératrice. Si on choisit d'utiliser les variables , on a une fonction génératrice que l'on appelle fonction principale de Hamilton. Pour avoir effectivement une fonction de , il faut effectuer une transformation de Legendre à F : .

On a alors

et la condition d'invariance devient

On a choisi comme variables indépendantes, on peut donc identifier et on obtient :

Les deux premières équations permettent de déterminer la transformation à partir de la donnée de la fonction , et en combinant la première et la dernière équation, on a l'équation de Hamilton-Jacobi :

Application[modifier | modifier le code]

Le but d'une telle transformation est de simplifier la résolution des équations du mouvement, par exemple en imposant K=0 on a simplement et , soit et constants. Il reste alors à déterminer pour obtenir la solution , or la transformation est entièrement déterminée par la donnée de la fonction génératrice, qui est solution de l'équation aux dérivées partielles

Remarque

Dans ce cas, la condition d'invariance devient , la fonction génératrice S est alors simplement l'action du système.

Cette équation n'est pas a priori plus simple à résoudre que les équations de départ (en particulier s'il s'agit d'un Hamiltonien classique , on a alors des termes non linéaires). Cependant, si l'Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, il est conservé (d'après le théorème de Noether), on a donc directement :

d'où

et l'équation à résoudre est simplifiée :

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]