Éclatement (mathématiques)

En mathématiques, un éclatement est un type d'application birationnelle entre variétés analytiques (en) ou algébriques

$f:X\rightarrow Y$

qui est un isomorphisme en dehors de sous-variétés propres

$E\subset X,\ D\subset Y.$

Le cas le plus simple est celui où D est un point ; E est alors un diviseur isomorphe à un espace projectif.

Exemple

L'éclatement de l'origine dans $\mathbf {C} ^{n}$ s'obtient de la façon suivante. Soit P^{n – 1} l'espace projectif de dimension n – 1 muni de coordonnées $y_{1},\ldots ,y_{n}$. Soit $X$ le sous-ensemble de Cⁿ × P^{n – 1} défini par les équations $x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}$ pour i, j = 1, ..., n. La projection

$\pi :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}$

induit une application

$f:X\to \mathbf {C} ^{n}$

qui est un éclatement de l'origine.

Références

• (en) Phillip Griffiths et Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry, New York, John Wiley & Sons, 1978, 813 p. (ISBN 0-471-32792-1)
• (en) Robin Hartshorne, Algebraic Geometry [détail des éditions]

Voir aussi

Singularité (mathématiques)