« Polynôme de Bernstein » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique

← Modification précédente Modification suivante →

Contenu supprimé Contenu ajouté

Intégrés

Version du 21 novembre 2014 à 17:43

Les polynômes de Berstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien ukrainien Sergeï Bernstein, permettent de donner une démonstration constructive et probabiliste^[1] du théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

Description

Pour un degré m ≥ 0, il y a m + 1 polynômes de Berstein $B_{0}^{m},\dots ,B_{m}^{m}$ définis, sur l'intervalle [0, 1], par

B_{i}^{m}(u)={\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}}u^{i}\left(1-u\right)^{m-i}

,

où les ${\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}}$ sont les coefficients binomiaux.

Ces polynômes présentent quatre propriétés importantes : $\forall u\in [0,1]$

partition de l'unité : $\qquad \sum _{i=0}^{m}B_{i}^{m}(u)=1,$
positivité : $\forall i\in \{0,\ldots ,m\}\quad B_{i}^{m}(u)\geq 0,$
symétrie : $\forall i\in \{0,\ldots ,m\}\quad B_{i}^{m}(u)=B_{m-i}^{m}(1-u),$
formule de récurrence : pour $m > 0$ , $B_{i}^{m}(u)={\begin{cases}(1-u)B_{i}^{m-1}(u)&{\text{si }}i=0\\(1-u)B_{i}^{m-1}(u)+uB_{i-1}^{m-1}(u,&\forall i\in 1\dots m-1\\uB_{i-1}^{m-1}(u)&{\text{si }}i=m.\end{cases}}$ .

Lien avec la loi binomiale

D'un point de vue probabiliste, pour tout $p\in [0,1]$ , $B_{i}^{m}(p)$ est la probabilité $P(X=i)$ , où $X$ est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $(m,p)$ . C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Berstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.

Notes et références

↑ Sergeï Natanovitch Bernstein, « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912.

Voir aussi

Algorithme de De Casteljau, permet de calculer efficacement les polynômes de Bernstein
Approximation de Bernstein, permet d'approcher uniformément des fonctions continues
Xavier Granier

Portail des mathématiques

[1] Sergeï Natanovitch Bernstein, « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912.

[1]

@@ Ligne 1 : / Ligne 1 : @@
 {{Confusion|texte=Ne doit pas être confondu avec {{Lien|trad=Bernstein–Sato polynomial|Polynôme de Bernstein-Sato}}}}
-Les '''polynômes de Bernstein''', nommés ainsi en l'honneur du mathématicien ukrainien [[Sergeï Natanovitch Bernstein|Sergeï Bernstein]], permettent de donner une [[démonstration constructive]] et probabiliste<ref>[[Sergeï Natanovitch Bernstein]], [http://www.math.technion.ac.il/hat/fpapers/bern1.pdf « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités »], dans ''Comm. Soc. Math. [[Kharkov]] Ser. 2'', vol. 13, 1912.</ref> du [[Théorème_de_Stone-Weierstrass#Théorème d'approximation_de_Weierstrass|théorème d'approximation de Weierstrass]]. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des [[courbe de Bézier|courbes de Bézier]].
+Les '''polynômes de Berstein''', nommés ainsi en l'honneur du mathématicien ukrainien [[Sergeï Natanovitch Bernstein|Sergeï Bernstein]], permettent de donner une [[démonstration constructive]] et probabiliste<ref>[[Sergeï Natanovitch Bernstein]], [http://www.math.technion.ac.il/hat/fpapers/bern1.pdf « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités »], dans ''Comm. Soc. Math. [[Kharkov]] Ser. 2'', vol. 13, 1912.</ref> du [[Théorème_de_Stone-Weierstrass#Théorème d'approximation_de_Weierstrass|théorème d'approximation de Weierstrass]]. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des [[courbe de Bézier|courbes de Bézier]].
 == Description ==
-Pour un degré ''m'' ≥ 0, il y a ''m'' + 1 polynômes de Bernstein <math>B^m_0,\dots,B^m_m</math> définis, sur l'intervalle [0, 1], par
+Pour un degré ''m'' ≥ 0, il y a ''m'' + 1 polynômes de Berstein <math>B^m_0,\dots,B^m_m</math> définis, sur l'intervalle [0, 1], par
 :<math>B_i^m(u) = \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} u^i \left( 1-u \right)^{m-i}</math>,
 où les <math>\begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix}</math> sont les [[coefficient binomial|coefficients binomiaux]].
@@ Ligne 24 : / Ligne 24 : @@
 == Lien avec la loi binomiale ==
-D'un point de vue probabiliste, pour tout <math>p\in [0,1]</math>, <math>B^m_i(p)</math> est la probabilité <math>P(X=i)</math>, où <math>X</math> est une variable aléatoire suivant une [[loi binomiale]] de paramètre <math>(m,p)</math>. C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.
+D'un point de vue probabiliste, pour tout <math>p\in [0,1]</math>, <math>B^m_i(p)</math> est la probabilité <math>P(X=i)</math>, où <math>X</math> est une variable aléatoire suivant une [[loi binomiale]] de paramètre <math>(m,p)</math>. C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Berstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.
 == Notes et références ==
@@ Ligne 32 : / Ligne 32 : @@
 * [[Algorithme de De Casteljau]], permet de calculer efficacement les polynômes de Bernstein
 * [[Approximation de Bernstein]], permet d'approcher uniformément des fonctions continues
+* [http://www.labri.fr/perso/granier/ Xavier Granier]
 {{Portail mathématiques}}