Polynôme de Bernstein

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Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergeï Bernstein (1880-1968), permettent de donner une démonstration constructive et probabiliste[1] du théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

Description[modifier | modifier le code]

Pour un degré m ≥ 0, il y a m + 1 polynômes de Bernstein Bm
0
, ..., Bm
m
définis, sur l'intervalle [0 ; 1], par

,

où les sont les coefficients binomiaux.

Les m + 1 polynômes de Bernstein forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus m.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Polynômes de Bernstein de degré 3.

Ces polynômes présentent plusieurs propriétés importantes :

  • partition de l'unité :
  • positivité :
  • symétrie :
  • valeurs aux bords :
avec δ le symbole de Kronecker
  • multiplicité des racines :
pour Bm
i
, 0 est une racine de multiplicité i et 1, une racine de multiplicité m – i.
  • formules de récurrence : pour m > 0,
.
  • décomposition sur la base canonique :
et inversement

Lien avec la loi binomiale[modifier | modifier le code]

D'un point de vue probabiliste, pour tout p ∈ [0;1], Bm
i
(p)
est la probabilité , où X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (m,p). C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]