Polynôme de Bernstein

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Ne doit pas être confondu avec Polynôme de Bernstein-Sato (en)

Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergeï Bernstein (1880-1968), permettent de donner une démonstration constructive et probabiliste[1] du théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

Description[modifier | modifier le code]

Pour un degré m ≥ 0, il y a m + 1 polynômes de Bernstein définis, sur l'intervalle [0, 1], par

,

où les sont les coefficients binomiaux.

Ces polynômes présentent quatre propriétés importantes :

  • partition de l'unité :
  • positivité :
  • symétrie :
  • formule de récurrence : pour m > 0, .
Polynômes de Bernstein de degré 3.

Lien avec la loi binomiale[modifier | modifier le code]

D'un point de vue probabiliste, pour tout , est la probabilité , où est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre . C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]