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Polynôme de Bernstein

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Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergueï Bernstein (1880-1968), permettent de donner une démonstration constructive et probabiliste[1],[2],[3] du théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

Description

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Pour un degré m ≥ 0, il y a m + 1 polynômes de Bernstein Bm
0
, ..., Bm
m
définis, sur l'intervalle [0 ; 1], par

,

où les sont les coefficients binomiaux.

Les m + 1 polynômes de Bernstein forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus m.

Premiers polynômes

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Les polynômes de Bernstein pour les premiers ordres sont :

  • n = 0
  • n = 1
  • n = 2
  • n = 3

Propriétés

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Polynômes de Bernstein de degré 3.

Ces polynômes présentent plusieurs propriétés importantes :

  • positivité :
  • symétrie :
  • valeurs aux bords :
avec δ le symbole de Kronecker
  • multiplicité des racines :
pour Bm
i
, 0 est une racine de multiplicité i et 1, une racine de multiplicité m – i.
  • formules de récurrence : pour m > 0,
.
et inversement

Lien avec la loi binomiale

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D'un point de vue probabiliste, pour tout p ∈ [0;1], Bm
i
(p)
est la probabilité , où X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (m,p). C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.

Notes et références

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  1. Sergueï Natanovitch Bernstein, « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », Communications de la Société mathématique de Kharkow Série 2, vol. 13,‎ (lire en ligne).
  2. (en) Rida T. Farouki, « The Bernstein polynomial basis: A centennial retrospective », Computer Aided Geometric Design, vol. 29, no 6,‎ , p. 379-419 (ISSN 0167-8396, DOI 10.1016/j.cagd.2012.03.001, lire en ligne).
  3. (en) Richard V. Kadison, « Bernstein Polynomials and Approximation ».

Liens externes

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(en) Eric W. Weisstein, « Bernstein Polynomial », sur MathWorld