Approximation de Bernstein

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La suite des polynômes de Bernstein (en vert) converge vers la fonction f qu'elle doit approcher (ici, , en rouge).

En analyse, l'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale, permettant d'approcher uniformément une fonction continue f définie sur le segment [0, 1] par une suite de combinaisons linéaires des polynômes de Bernstein. Cette preuve constructive du théorème d'approximation de Weierstrass est due à Sergeï Natanovitch Bernstein[1].

La n-ième approximation de f est le polynôme

où les sont les polynômes de Bernstein :

On construit donc Pn(f) à partir des valeurs de f aux points 0, 1n, …, (n – 1)n et 1 mais, en ces points, la valeur de Pn(f) peut être différente de celle de f, autrement dit : l'approximation obtenue n'est pas une interpolation.

La convergence uniforme de Pn(f) vers f s'énonce donc de la façon suivante :

Il convient de noter que si X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres(n,x), alors Pn(f)(x) n'est rien d'autre que l'espérance de f(X/n), c'est-à-dire la moyenne de f appliquée au nombre de succès de n expériences indépendantes de probabilité x. La convergence simple de Pn(f) vers f est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre Xn et x, on en déduit la convergence uniforme.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Les opérateurs linéaires Pn sur C([0, 1]) étant positifs (en), il suffit, d'après le théorème d'approximation de Korovkin, de vérifier la convergence pour les trois fonctions monomiales f0(x) = 1, f1(x) = x et f2(x) = x2.

Or Pn(f0) = f0, Pn(f1) = f1 et Pn(f2) = f2 + (f1f2)/n, ce qui conclut[2].

Référence[modifier | modifier le code]

  1. « Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités », dans Comm. Soc. Math. Kharkov Ser. 2, vol. 13, 1912.
  2. (en) Francesco Altomare, « Korovkin-type Theorems and Approximation by Positive Linear Operators », Surveys in Approximation Theory, vol. 5,‎ , p. 92-164 (arXiv 1009.2601), Theorem 3.6.

Articles connexes[modifier | modifier le code]