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« jüdischem Geist »
Der demokratische Verfassungsstaat.
Richard Seewald (de)
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Démonstration
On peut voir cette formule comme un cas particulier d'une transformation générale aux séries de Dirichlet , ou la redémontrer directement par la même méthode :
ζ
(
s
)
Γ
(
s
)
=
∑
n
≥
1
Γ
(
s
)
n
s
=
∑
n
≥
1
∫
0
+
∞
e
−
u
(
u
n
)
s
−
1
d
u
n
.
{\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Gamma (s)}{n^{s}}}=\sum _{n\geq 1}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u}\left({\frac {u}{n}}\right)^{s-1}{\frac {\mathrm {d} u}{n}}.}
On pose u = nt .
∫
0
+
∞
e
−
u
(
u
n
)
s
−
1
d
u
n
=
∫
0
+
∞
e
−
n
t
t
s
−
1
d
t
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-u}\left({\frac {u}{n}}\right)^{s-1}{\frac {\mathrm {d} u}{n}}=\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-nt}t^{s-1}\mathrm {d} t}
et d'après le théorème de convergence monotone si s dominée sinon, on peut intervertir somme-intégrale et on obtient :
ζ
(
s
)
Γ
(
s
)
=
∑
n
≥
1
∫
0
+
∞
e
−
n
t
t
s
−
1
d
t
=
∫
0
+
∞
e
−
t
1
1
−
e
−
t
t
s
−
1
d
t
=
∫
0
+
∞
t
s
−
1
e
t
−
1
d
t
.
{\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\sum _{n\geq 1}\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-nt}t^{s-1}\mathrm {d} t=\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-t}{\frac {1}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}t^{s-1}\mathrm {d} t=\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\mathrm {d} t.}
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