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L'instabilité de Rayleigh-Bénard, ou convection naturelle est une instabilité thermo-convective susceptible de se développer dans un milieu fluide soumis à un gradient de température déstabilisant. Elle se traduit par la formation de structures convectives appelées cellules de Bénard. Ce problème a été étudié expérimentalement par Bénard et théoriquement par Rayleigh.

Principe physique

Description du cycle convectif naturel

Soit un fluide contenue entre deux parois parallèles horizontales, soumis à un gradient thermique de sorte que la paroi inférieure soit à une température $T_{1}$ supérieure à la température $T_{0}$ de la paroi supérieure. Sous l'effet du chauffage de la paroi inférieure, les particules fluides situées à proximité de la paroi inférieure voit leur masse volumique décroître et sous l'effet de la poussée d'Archimède, tendent à remonter vers la paroi supérieure. À partir d'un certain seuil du gradient thermique $\Delta T=T_{1}-T_{0}$, ce mouvement des particules fluides induit une déstabilisation du milieu fluide sous la forme de rouleaux thermo-convectifs aussi appelés cellules de Bénard.

Formulation mathématique

Les équation qui régissent le problème de Rayleigh-Bénard sont:

• L'équation de conservation de la masse:

${\vec {\nabla }}.{\vec {v}}$

• L'équation de conservation de la quantité de mouvement, dans laquelle a été faite l'approximation de Boussinesq:

$\rho _{0}\left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}.{\vec {\nabla }}){\vec {v}}\right)=-{\vec {\nabla }}P-\rho _{0}\beta g(T-T_{0}){\vec {e}}_{z}+\mu {\vec {\nabla }}{\vec {v}}$

• L'équation de la chaleur:

$\rho _{0}C_{v}\left({\frac {\partial T}{\partial t}}+{\vec {v}}.{\vec {\nabla }}T\right)=\lambda {\vec {\nabla }}^{2}T$ avec pour condition aux limites:

• Gradient imposé de température $T=T_{1}$ en $z=0$ et $T=T_{0}$ en $z=h$
• Condition d'adhérence du fluide aux parois ${\vec {v}}=0$ en $z=0$ et $z=h$

Les grandeurs physiques qui interviennent dans ce problème sont:

• la masse volumique $\rho _{0}$ du fluide à la température $T_{0}$
• le coefficient de dilatation volumique $\beta$
• l'accélération de la pesanteur $g$
• la viscosité dynamique du fluide $\mu$
• la capacité calorifique à volume constant $C_{v}$
• la conductivité thermique $\lambda$

Sous forme adimensionnée les équations s'écrivent:

• Équation de conservation de la masse:

${\vec {\nabla }}.{\vec {v}}$

• Équation de conservation de la quantité de mouvement, dans laquelle a été faite l'approximation de Boussinesq:

${\frac {1}{Pr}}\left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}.{\vec {\nabla }}){\vec {v}}\right)=-{\vec {\nabla }}P-RaT{\vec {e}}_{z}+{\vec {\nabla }}{\vec {v}}$

• Équation de la chaleur:

${\frac {\partial T}{\partial t}}+{\vec {v}}.{\vec {\nabla }}T=\lambda {\vec {\nabla }}^{2}T$ Dans l'équation du mouvement apparaît le nombre de Rayleigh $Ra={\frac {\beta gh^{3}(T_{1}-T_{0})}{\nu \kappa }}$ proportionnel au gradient de température. C'est le paramètre qui déterminera la stabilité du système.

Stabilité du problème

La stabilité du problème est pilotée par le nombre de Rayleigh $Ra$. Celui-ci étant proportionnel au gradient de température, plus la température de la plaque inférieure sera élevée plus le nombre de Rayleigh sera grand. Pour des valeurs de $Ra$ suffisamment petites, le système est stable et on retrouve la solution de conduction. Lorsque le nombre de Rayleigh dépasse le seuil critique $Ra=1708$ le système devient instable et on observe la formation de structures convectives appelées cellules de Bénard. La stabilité linéaire de ce problème dans le cas d'un fluide contenu entre deux plaques horizontales d'extension infinie a été étudiée par K.S.Gage et W.H.Reid

Articles connexes

• Convection
• Équations de Navier-Stokes