Utilisateur:Boris Christ/BàS

L'équation fonctionnelle de Cauchy est l'une des équations fonctionnelles les plus simples, elle s'écrit :

$\forall x,y\in \mathbb {R} ,f(x+y)=f(x)+f(y)$ d'inconnue $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

En d'autres termes, les solutions de cette équation sont exactement les endormorphismes de $\mathbb {R}$.

On montre aisément que f est linéaire sur $\mathbb {Q}$, c'est à dire : $\exists a\in \mathbb {R} ,\forall x\in \mathbb {Q} ,f(x)=ax$.

Pour obtenir la linéarité sur $\mathbb {R}$, il faut rajouter une condition supplémentaire :

• la continuité en un point.
• être majorée ou minorée sur un intervalle.
• être monotone sur un intervalle.

Sans aucune condition supplémentaire, il est démontré qu'il existe encore une infinité de fonctions vérifiant l'équation fonctionnelle de Cauchy mais n'étant continue en aucun point et bornée sur aucun intervalle.

Preuve sur les rationnels

Si f est solution on a nécessairement :

• $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ par hypothèse soit $f(0)=0$.
• $\forall x\in \mathbb {R} ,0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)$ par hypothèse soit $f(-x)=-f(x)$, c'est à dire que f est impaire sur $\mathbb {R}$.
• $\forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in \mathbb {R} ,f(nx)=f(\underbrace {x+\cdots +x} _{nfois}){\overset {hyp.}{=}}\underbrace {f(x)+\cdots +f(x)} _{nfois}=nf(x)$.
• Sur les négatifs on a en utilisant l'imparité :

$\forall x\in \mathbb {R} ,\forall n\in \mathbb {Z} ,n<0,f(nx)=f(-n(-x))=-nf(-x)=nf(x)$.

• Sur les rationnels, soit $r\in \mathbb {Q} ,\exists !(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*},r={\frac {p}{q}}$.

Puis $\forall x\in \mathbb {R} ,pf(x)=f(px)=f(qrx)=qf(rx)\Leftrightarrow f(rx)={\frac {p}{q}}f(x)=rf(x)$.

Donc en particulier pour x=1 il vient $\forall r\in \mathbb {Q} ,f(r)=rf(1)$ : d'où la linéarité sur $\mathbb {Q}$.

Ajout de condition

Si on suppose de plus que f est continue en $x_{0}\in \mathbb {R}$, on peut montrer que f est continue sur $\mathbb {R}$ puis par un argument de densité de $\mathbb {Q}$ dans $\mathbb {R}$ on va arriver à montrer que f est $\mathbb {R}$-linéaire :

f continue en x₀ $\Leftrightarrow \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})\Leftrightarrow \lim _{h\to 0}f(x_{0}+h)=f(x_{0})$.

On utilise l'hypothèse sur f :

Soit $a\in \mathbb {R} ,f(a+h)=f(a)+f(h)=f(a)+f(x_{0}+h)-f(x_{0})$.

Donc $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{h\to 0}f(a+h)=\lim _{h\to 0}f(a)+f(x_{0}+h)-f(x_{0})=f(a)+f(x_{0})-f(x_{0})=f(a)$.

D'où la continuité sur $\mathbb {R}$. De plus par la densité de $\mathbb {Q}$ dans $\mathbb {R}$, $\forall x\in \mathbb {R}$ il existe une suite de rationnels x_n qui tend vers x en l'infini.

Or comme f est continue sur $\mathbb {R} ,\lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=f(x)$.

Et $f(x_{n})=x_{n}f(1),\lim _{n\to +\infty }x_{n}f(1)=xf(1)$.

Par unicité de la limite, $f(x)=xf(1)$. D'où la $\mathbb {R}$-linéarité.

Propriété des autres solutions

Elles sont un cas pathologique.

Importance de l'équation

De nombreuses équations fonctionnelles se ramènent à l'équation fonctionnelle de Cauchy. Par exemple soit :

$(E):\forall x,y\in \mathbb {R} ,f(x+y)=f(x)f(y)$ et f continue, d'inconnue $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.

En ayant préalablement montré que f est strictement positive (en ayant supposé f différente de la fonction nulle : $x\mapsto 0$), on obtient :

$\forall x,y\in \mathbb {R} ,\ln(f(x+y))=\ln(f(x)f(y))=\ln(f(x))+\ln(f(y))$.

D'où $\ln \circ f$ vérifie l'équation fonctionnelle de Cauchy et est continue (composée de fonctions continues) donc

$\exists a\in \mathbb {R} ,\forall x\in \mathbb {R} ,\ln(f(x))=ax\Leftrightarrow f(x)=e^{ax}$. Ce sont les fonctions exponentielles en base a.