Notions de cardinal

Intuitivement, le cardinal d'un ensemble est son nombre d'éléments : c'est en tout cas le cas pour les ensembles finis où les seuls entiers naturels suffisent à les différencier. On peut alors utiliser les règles de clculs usuelles pour dénombrer les ensembles finis et les comparer. Les choses se compliquent avec l'infini, ou plutôt les infinis, où l'introduction de nombre plus compliqués est nécessaire pour tenter d'établir une théorie analogue permettant de comparer les ensembles infinis suivant leur "taille".

Tour d'horizon[modifier | modifier le code]

Le cas des ensembles finis est abordé plus spécifiquement dans la partie suivante, mais il sert de modèle à ce que l'on voudrait pour les ensembles infinis. De manière naïve (mais viscieuse) les nombres entiers permettent de "classer" tous les ensembles finis suivant le nombre d'éléments qu'ils contiennent. Ainsi, il y'a autant de jours dans une semaine que de nains autour de blanche neige, même si les nains ne sont pas des jours : ici on se contente de la "quantité" et non de la "nature" des éléments. Ensuite les opérations dont on dispose sur les entiers permettent de calculer certains cardinaux d'ensembles et enfin de les comparer. Pour les ensembles infinis, on ne dispose pas a priori, de nombres permettant d'en compter les éléments. Dans un premier temps on se contente de les comparer : un ensemble E est plus petit qu'un ensemble F, et on notera E \leq F, si et seulement s'il existe une injection de E dans F(ie une correspondance entre les éléments de E et ceux de F telle que tout élément de E soit associé à exactement un élément de F et qu'en outre deux éléments de E différents soit associés à des éléments différents [je ne sais pas si c'est utile de le rappeler, parcontre un dessin serait le bienvenu]). Alors clairement E\leq F et F\leq G impliquent E\leq G, ce qui semble ordonner les ensembles. Dans cette optique mentionnons les trois faits suivants :

si E\leq F et F\leq E, alors E et F sont équipotnet (ie blabla), c'est le théorème de Cantor-Berstein. Les "classes d'équivalence" de cette relation sont appelées "cardinaux", et donc par définition-même, deux ensembles ont même cardinal ssi ils sont équipotents et celà prolonge la définition des cardinaux d'ensembles finis,
il existe différentes classes d'équivalence d'ensembles infinis (et même une infinité) car un ensemble E peut s'injecter dans l'ensemble de sesparties mais jamais s'y surjecter, ceci rend la théorie des cardinaux non triviale,
sous l'hypothèse de l'axiome du choix on a toujours E\leq F ou F\leq E.

Après avoir détaillées ses remarques dans la partie "équipotence", et introduit la problématique de l'hypothèse du continue, on tentera d'expliquer les différentes constructions de "nombres" permettant de classer et comparer les ensembles au seul regard de leur "taille".

Ensemble fini[modifier | modifier le code]

La notion intuitive d'ensemble fini est assez claire. Dans ce cas on peut alors compter les éléments de l'ensemble, ce nombre d'éléments est appelé cardinal de l'ensemble. Plus rigoureusement, un ensemble sera dit fini lorsqu'il est en bijection avec un certain sous-ensemble $\{1,2,\dots ,n\}\subset \mathbb {N}$ , où l'ensemble est vide pour n=0. On montre alors que l'entier $n\in \mathbb {N}$ en question ne dépend que de l'ensemble considéré et c'est lui qu'on appelle cardinal de l'ensemble. Dans l'article ensemble fini on met rigoureusement en place les résultats que l'intuition suggère quant au cardinal d'une réunion, d'un produit carthésien, etc. d'ensembles finis.

Il est parfois simple de voir qu'un ensemble est fini, mais pas si simple d'en expliciter le cardinal. Dans l'article combinatoire on donne quelques techniques usuelles pour calculer des cardinaux, à titre d'exemples mentionnons :

l'utilisation d'une relation de récurrence (ex : notant F_n le nombre de parties finies d'un ensemble à n éléments on a F_{n+1}=2F_n et F_0=1, d'où pour tout n\in\N,\, F_n=2^n.),
un partionnement en fibres de même cardinal (ex : le nombre de k-uplets injectifs d'un ensemble à n éléments est clairement ${\frac {n!}{(n-k)!}}$ d'où l'on déduit le nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments : ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ ),
l'équation aux classes,
des séries génératrices qui permettent d'obtenir des relations de récurrence (ex : nombre de catalan), etc.

Bien qu'étant un outils rudimentaire, les cardinaux finis peut s'avérer fort utile dans d'autres domaines des mathématiques (théorie de la dimension, multiplicité d'un zéro ou d'un pôle, genre d'une courbe, nombre de composantes connexes d'un espace topologique...) et que des arguments d'ordres combinatoires apparaissent dans certaines démonstrations (théorème de Wedderburn, problème de Riemann-Roch...).

Equipotence[modifier | modifier le code]

Comme mentionné précédemment, on ne dispose a priori pas d'un équivalent des entiers naturels pour dénombrer les enembles infinis, et pourtant il en existe : N lui-même par exemple. On se contente dans un premier temps de les comparer et on notera $E\leq F$ ss'il existe une injection de E dans F. Comme l'identité est injective et que la composée d'injections en est encore une, la relation se comporte "comme" un préordre. Ce n'en n'est pas un car on ne peut parler de l'ensemble de tous les ensembles (cf. paradoxe de Russell)! La relation dite d'équipotence, que l'on peut définir par $E\leq F$ et $F\leq E$ est alors reflexive, transitive et symétrique. Le théorème de Cantor-Bernstein dit que deux ensembles sont équipotents ss'ils sont en bijection. L'unicité du cardinal d'un ensemble fini montre que deux ensembles finis sont équipotents ss'ils ont même cardinal, et qu'ils ne peuvent être équipotents à un ensemble infini.

La question naturelle est alors : y'a-t-il plusieurs "classes d'équivalence" pour l'équipotence parmis les ensembles infinis ? La réponse est oui et peut se déduire de ce résultat : il n'existe pas de surjection de E sur l'ensemble P de ses parties, qui peut se montrer par l'absurde. Si f était une telle surjection alors il existerait un élément e de E tel que $f(e)=\{x\in E/x\notin f(x)\}$ , mais alors e ne peut ni appartenir ni ne pas appartenir à f(e) ce qui fournit la contradiction. On prolonge la notion de cardinal, connue pour les ensembles finis, en appelant cardinal toute "classe d'équivalence" de l'équipotence.

On peut alors se demander si, à l'instar des ensembles finis, il est possible d'ordonner totalement ces nouveaux cardinaux. On y reviendra juste après s'être poser la question du cardinal de l'ensemble R des réels.

Puissance et hypothèse du continue[modifier | modifier le code]

Nombres ordinaux[modifier | modifier le code]

Cardinaux[modifier | modifier le code]

Aspects historiques[modifier | modifier le code]