Utilisateur:Alexandre alexandre/Brouillon11

En mathématiques, un polynôme symétrique est un polynôme en plusieurs indéterminées, invariant par permutation de ses indéterminées. Ils apparaissent naturellement quand on s'intéresse aux liens entre coefficients et racines d'un polynome scindé (il suffit de développer a(X-r_1)...(X-r_n) pour exprimer les coefficients comme polynomes symétriques en les racines) et fournissent un exemple de polynomes invariants sous l'action d'un groupe.

Définition

Soit A un anneau commutatif unifère. Un polynôme Q(T₁,...,T_n) en n indéterminées à coefficients dans A est dit symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices {1,...,n}, l'égalité suivante est vérifiée :

$Q(T_{1},\dots ,T_{n})=Q(T_{s(1)},\dots ,T_{s(n)}).$

Il revient au même de vérifier l'égalité précédente pour toute transposition. Ils forment une sous-A-algèbre associative unifère de A[T₁,...,T_n], qu'on notera ici S_n[ça c'est juste la flemme de faire que de l'écrire...].

Par exemple, pour n = 1, tout polynôme est symétrique. Pour n = 2, le polynôme T₁+T₂ est symétrique alors que le polynôme T₁+T₂² ne l'est pas.

On rencontre naturellement deux types de polynômes symétriques :

• ceux exprimant les liens coefficients/racines d'un polynôme en une variable, ils sont dits élémentaires et engendrent toute l'algèbre S.
• les sommes de puissance, T_1^k+...+T_n^k, dites somme de Newton qui engendrent également S en caractéristique nulle

Polynômes symétriques élémentaires

Définition et théorème crucial

On fixe un entier n. On définit [J'ai vu dans Bourbaki qu'ils donnait comme définition la somme des produits de k indeterminées, mais je suis quasi-sûr que ce truc se source... ] alors les polynômes symétriques élémentaires $(s_{k})_{k}$ d'ordre n suivant le lien coefficients/racines. Ce sont les coefficients obtenus en développement dans A[T₁,...,T_n,X]=A[T₁,...,T_n][X]

$\prod _{i=1}^{n}(X-T_{i})=X^{n}+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}s_{k}(T_{1},\dots ,T_{n})X^{n-k}.$

On remarque donc que $s_{k}$ est nul pour k>n et homogène de degré k sinon. Plus explicitement, on a $s_{0}=1,\,s_{1}=T_{1}+T_{2}+\dots +T_{n},\dots ,\,s_{n}=T_{1}T_{2}\dots T_{n}$. Ces polynômes sont [certainement] dits élémentaires car ils permettent d'exprimer polynomialement tous les autres polynômes symétriques, et ce de manière unique : plus formellement, $P(X_{1},\ldots ,X_{n})\mapsto P(s_{1}(T_{1},\ldots ,T_{n}),\ldots ,s_{n}(T_{1},\ldots ,T_{n}))$ inuit un isomorphisme d'algèbres $\phi :A[X_{1},\ldots ,X_{n}]\to S_{n}$.

Preuve

• Pour l'existence on procède par double récurrence forte sur le degré et le nombre de variables. Soit f un polynome symétrique en n variables $T_{1},...T_{n}$. Alors en substituant 0 à $T_{n}$ on obtient un polynome symétrique en les $T_{1},...,T_{n-1}$ qui par récurrence sur les variables s'écrit $P(s_{1}(T_{1},...,T_{n-1}),...,s_{n-1}(T_{1},...,T_{n-1}))$. Considérons le polynome en n variables $g:=f(T_{1}...,T_{n})-P(s_{1}(T_{1},...,T_{n}),...,s_{n-1}(T_{1},...,T_{n}))$. Alors $g(T_{1},...,T_{n-1},0)$ est nul et donc g est divisible par $T_{n}$, comme il est symétrique en les $T_{1},...,T_{n}$ il est également divisible par les autres $T_{i}$ et donc par $s_{n}(T_{1},...,T_{n})$. Il existe un polynome en n variables h tel que $g=hs_{n}$ et par suite h est également symétrique et de degré strictement plus petit que celui de g et donc celui de f. Par récurrence sur le degré il s'écrit $Q(s_{1},...,s_{n})$ et finalement $f=s_{n}Q(s_{1},...,s_{n})+P(s_{1},...,s_{n})$ comme voulue.
• Pour l'unicité remarquons qu'en substituant un $T_{j}$ dans la définition $\prod _{i=1}^{n}(X-T_{i})=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}s_{i}X^{n-i}$ on observe qu'il est entier sur $A[s_{1},...,s_{n}]=S_{n}$ et donc que $A[T_{1},...,T_{n}]$ aussi. Ils ont donc même dimension, à savoir $n+\mathrm {dim} A$. Considérons maintenant le morphisme surjectif $A[X_{1},...X_{n}]\to S_{n}$ : son noyau est un ideal premier car $S_{n}$ est intègre et nécessairement nul car $A[X_{1},...X_{n}]$ est aussi de dimension $n+\mathrm {dim} A$.

 

Remarquons que la preuve de l'existence fournit un algorithme pour trouver l'expression polynomiale cherchée. L'injectivité équivaut à dire que les $s_{i}$ sont algébriquement indépendants, ce qui fournit un premier exemple au lemme de normalisation de Noether.

Sommes de Newton

On notera ici $N_{k}(T_{1},\dots ,T_{n})=T_{1}^{k}+\dots +T_{n}^{k}$ qui est un polynôme symétrique et s'écrit donc polynomialment en les polynômes symétriques. Par exemple, $N_{1}=s_{1},\,N_{2}=s_{1}^{2}-2s_{2}$. En fait, Newton a même établi les identités qui portent depuis son nom :

$(-1)^{h}hs_{h}(T_{1},\dots ,T_{n})=\sum _{i=0}^{h-1}(-1)^{i-1}s_{i}(T_{1},\dots ,T_{n})N_{h-i}(T_{1},\dots ,T_{n})\quad ({\mbox{pour }}1\leq h\leq n).$

En particulier, en caractéristique nulle, on peut ainsi exprimer les polynomes symétriques en fonctions des sommes de Newton, ce qui prouvent que celles-ci aussi engendrent $S_{n}$.