Réduction de Montgomery

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La réduction de Montgomery est un algorithme efficace pour la multiplication en arithmétique modulaire introduit en 1985 par Peter L. Montgomery. Plus concrètement, c'est une méthode pour calculer :

$a\ \times \ b{\pmod {n}}.$

La méthode est surtout efficace lorsqu'un grand nombre de multiplications modulaires avec un même n doivent être effectuées car le calcul nécessite des étapes de normalisation. Elle est donc particulièrement adaptée au calcul d'exponentiation modulaire.

$a^{b}{\pmod {n}}.$

Elle est maintenant très utilisée en cryptologie.

Définition de la réduction

Soit n un entier strictement positif et soient R et T des entiers tels que R > n, pgcd(n, R) = 1 et 0 ≤ T < nR. La réduction de Montgomery de T modulo n relativement à R est définie comme la valeur

T\,R^{-1}{\pmod {n}},

où R⁻¹ est l'inverse modulaire de R, pour la multiplication $mod n$ , et $mod$ désigne la congruence sur les entiers.

Pseudo-code

La fonction de réduction peut être décrite à l'aide du pseudo-code suivant :

fonction reduction(T, N, R) {

  /* Calcul du nombre de multiples à ajouter pour que */
  /* T + m*N soit divisible par R                     */
  ni = R - ModInverse(N, R);
  m = ((T mod R) * ni) mod R;  
  /* Ajout des multiples et décalage */
  x = (T + m*N) / R;           
  if (x < N)  return x;
  else        return x - N;

}

où ModInverse(N, R) désigne l'inverse modulaire de N (mod R). Si l'on choisit R = 2^k et que ni peut être pré-calculé alors la fonction ci-dessus se réduit à deux multiplications (en négligeant le temps pris par les autres opérations moins coûteuses).

Multiplication de Montgomery

L'algorithme de la multiplication de Montgomery est très simple. Il suffit à chaque pas (ligne) d'une multiplication classique d'ajouter un multiple de n bien choisi de façon à faire apparaître des 0 dans le résultat. Le modulo n se réduit alors à un simple décalage des chiffres. Cette opération d'ajout de multiples de n est autorisée puisque l'on travaille modulo n. Un choix de R classique en base 2 consiste à prendre R = 2^k mod n, 2^k > n et k multiple de 32. L'algorithme calcule abR⁻¹ mod n. Attention, dans certains cas, l'algorithme retourne un résultat compris entre n et 2n. Il faut alors retrancher n au résultat.

Exemple en base 10

Soit à calculer $234\times 167{\pmod {293}},$ on choisit $R=10^{6}{\pmod {293}}=284$ pour 6 chiffres, il suffit de multiplier a ou b par R pour obtenir $a\,b\,R\,R^{-1}{\pmod {n}}=a\,b{\pmod {n}}.$ En choisissant a ou b égal à 1, on obtient une réduction modulo n simple. R (ici réduit mod n) étant inférieur à n, la condition a, b < R (non réduit) est suffisante pour éviter un dépassement.

   066456  (234*284)
 × 000167
   ------
1) 465192  (7*66456)
  +  1758  (6×293)
   466950
   ------
2) 445431  (6*66456 + 466950/10)
  +   879  (3×293)
   446310  
   ------
3) 111087  (1*66456 + 446310/10)
  +   293  (1×293)
   111380  
   ------
4)  11138  (0*66456 + 111380/10)
  +  1172  (4×293)
    12310  
   ------
5)   1231  (0*66456 + 12310/10)
  +   879  (3×293)
     2110  
   ------
6)    211  (0*66456 + 2110/10)
  +   879  (3×293)
     1090
   ------
  =   109

On obtient bien le résultat, néanmoins il faut effectuer la normalisation (*284), ce qui coûte une multiplication supplémentaire et un nombre de chiffres plus grand mais ce procédé peut être adapté en fonction du besoin de façon à minimiser le nombre de multiplications ainsi que le nombre de chiffres nécessaires. Le calcul du nombre de multiples à ajouter à chaque ligne requiert l'inversion modulaire d'un seul chiffre, ici le 3 de 293 (voir ci-dessous). À noter qu'en base 10, n ne peut pas se terminer par 0, 2, 4, 5, 6 ou 8. L'utilisation d'une base 2^p est beaucoup plus pratique.

Exemple pour l'étape 1) , on a 3⁻¹ = 7 mod 10, on veut trouver b tel que 2 + 3b = 0 mod 10.

       2 + b*3 = 0        (mod 10)
       b*3     = -2       (mod 10) = 8  (mod 10)
       b       = 8 * 3^-1 (mod 10)
       b       = 8 * 7    (mod 10) = 56 (mod 10) = 6

Notes et références

Annexes

Bibliographie

[Montgomery 1985] (en) Peter L. Montgomery, « Modular Multiplication Without Trial Division », Mathematics of Computation, vol. 44, n^o 170,‎ avril 1985, p. 519–521 (lire en ligne [PDF])

Articles connexes

Liens externes

(en) Implémentation dans divers langages, sur rosettacode.org