Produit tensoriel d'algèbres

En mathématique, le produit tensoriel de deux algèbres est une nouvelle algèbre.

Définition

Soit $R$ un anneau commutatif. Soient $A,B$ deux $R$-algèbres (non nécessairement commutatives). Leur structure de $R$-algèbres est donnée par deux morphismes

$\varphi _{A}:R\rightarrow A$ et $\varphi _{B}:R\rightarrow B$.

On peut les considérer comme des $R$-modules et construire le produit tensoriel $A\otimes _{R}B$. Lorsque $A$ et $B$ commutent à $R$, c'est-à-dire lorsque pour tout $(r,a,b)\in R\times A\times B$, on a $\varphi _{A}(r)a=a\varphi _{A}(r)$ et $\varphi _{B}(r)b=b\varphi _{B}(r)$, on montre qu'il existe une loi de composition interne sur ce produit tensoriel uniquement déterminée par la règle

$(a_{1}\otimes b_{1}).(a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}a_{2})\otimes (b_{1}b_{2})$.

pour tous $a_{1},a_{2}\in A$ et $b_{1},b_{2}\in B$. La structure de $R$-module plus cette loi de composition interne fait de $A\otimes _{R}B$ une $R$-algèbre.

Il existe des homomorphismes de $R$-algèbres canoniques $A\to A\otimes _{R}B$, $B\to A\otimes _{R}B$ définis respectivement par $a\mapsto a\otimes 1$ et $b\mapsto 1\otimes b$.

Ce produit tensoriel possède de plus une structure de $A$-algèbre à gauche lorsque $A$ est commutatif, et une structure de $B$-algèbre à droite lorsque $B$ est commutatif.

Exemples:

• Produit tensoriel d'algèbres de matrices

• Produit tensoriel d'algèbres centrales simples

• $R[T_{1},\ldots ,T_{n}]\otimes _{R}B=B[T_{1},\ldots ,T_{n}]$.

Propriété universelle

Lorsque $A$ et $B$ sont commutatifs, le produit tensoriel $A\otimes _{R}B$ est leur somme catégorielle dans la catégorie des $R$-algèbres commutatives:

Si $\phi :A\to C$ et $\psi :B\to C$ sont des homomorphismes de $R$-algèbres commutatives, alors il existe un unique homomorphisme de $R$-algèbres $\rho :A\otimes _{R}B\to C$ tel que $\rho (a\otimes 1)=\phi (a)$ et $\rho (1\otimes b)=\psi (b)$ pour tous $a\in A,b\in B$.

En géométrie algébrique, cette propriété universelle permet de définir le produit fibré de deux schémas affines au-dessus d'un même schéma affine.

Références

(en) Serge Lang, Algebra, Springer, third edition 2002, XVI, §6.