Forme antisymétrique

En algèbre linéaire, une forme antisymétrique est une forme multilinéaire pour laquelle une permutation des variables correspond à la multiplication de la valeur par la signature.

Définition

Une forme antisymétrique de degré $n$ sur un espace vectoriel $E$ est une application $f$ de $E^{n}$ dans son corps de scalaires qui est linéaire en chacune des variables et qui satisfait la relation suivante :

$\forall (x_{1},\dots ,x_{n})\in E^{n}\quad \forall (i,j)\in \mathbb {N} ^{2}\quad 1\leq i<j\leq n\Rightarrow \quad f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})$.

Exemples

• Une forme bilinéaire $f$ sur $E$ est dite antisymétrique si :

  $\forall x,y\in E\quad f(x,y)=-f(y,x)$.

• Le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique.
• Toute forme alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie pour les espaces vectoriels réels ou plus généralement lorsque le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2.