Ensemble syndétique

En mathématiques, en combinatoire, et plus spécialement en combinatoire des mots et en dynamique symbolique, un ensemble syndétique est un ensemble d'entiers naturels qui est à « lacunes bornées », c'est-à-dire tel que les différences entre deux entiers consécutifs de cet ensemble sont bornées.

Définitions équivalentes

Les définitions suivantes sont équivalentes :

• Un ensemble $S$ d'entiers naturels est syndétique s'il existe un entier $p$ tel que$S\cap \{a,a+1,a+2,\ldots ,a+p\}\neq \emptyset \quad {\text{pour tout entier naturel }}a$.
• Un ensemble $S$ d'entiers naturels est syndétique s'il existe un ensemble fini $F$ d'entiers naturels tel que$\mathbb {N} =\bigcup _{a\in F}S-a\quad \mathrm {o{\grave {u}}} \quad S-a=\{m\mid a+m\in S\}.$
• Un ensemble $S$ d'entiers naturels est syndétique si la suite $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n},\ldots )$ de ses éléments, classés en ordre croissant, vérifie : il existe un entier $p$ tel que$s_{i+1}-s_{i}\leq p\quad {\text{pour tout }}i\geq 1.$

Exemples

• Un ensemble périodique d'entiers naturels est syndétique.
• L'ensemble des carrés n'est pas syndétique, mais son complémentaire l'est.
• L'ensemble des positions du symbole 0 (resp. du symbole 1) dans la suite de Prouhet-Thue-Morse est syndétique. De même pour le mot de Fibonacci.

Voir aussi

• Ensemble syndétique par morceaux (en)
• Théorie de Ramsey
• Combinatoire des mots

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Syndetic set » (voir la liste des auteurs).
• Jillian McLeod, « Some notions of size in partial semigroups », Topology Proceedings, vol. 25,‎ 2000, p. 317-332 (lire en ligne)
• Vitaly Bergelson et Neil Hindman, « Partition regular structures contained in large sets are abundant », J. Comb. Theory (Series A), vol. 93,‎ 2001, p. 18-36 (lire en ligne)
• Vitaly Bergelson, « Minimal idempotents and ergodic Ramsey theory », dans Topics in Dynamics and Ergodic Theory, Cambridge University Press, coll. « London Math. Soc. Lecture Note Series » (n^o 310), 2003 (lire en ligne), p. 8-39