Ensemble syndétique

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En mathématiques, en combinatoire, et plus spécialement en combinatoire des mots et en dynamique symbolique, un ensemble syndétique est un ensemble d'entiers naturels qui est à « lacunes bornées », c'est-à-dire tel que les différences entre deux entiers consécutifs de cet ensemble sont bornées.

Définitions équivalentes[modifier | modifier le code]

Les définitions suivantes sont équivalentes :

  • Un ensemble S d'entiers naturels est syndétique s'il existe un entier p tel que
    S\cap\{a,a+1,a+2,\ldots, a+p\}\neq \emptyset\quad\text{pour tout entier naturel }a.
  • Un ensemble S d'entiers naturels est syndétique s'il existe un ensemble fini F d'entiers naturels tel que
    \N=\bigcup_{a\in F}S-a\quad\mathrm{o\grave u}\quad S-a=\{m\mid a+m\in S\}.
  • Un ensemble S d'entiers naturels est syndétique si la suite (s_1,s_2,\ldots,s_n,\ldots) de ses éléments, classés en ordre croissant, vérifie : il existe un entier p tel que
    s_{i+1}-s_i\le p\quad\text{pour tout }i\ge1.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Un ensemble périodique d'entiers naturels est syndétique.
  • L'ensemble des carrés n'est pas syndétique, mais son complémentaire l'est.
  • L'ensemble des positions du symbole 0 (resp. du symbole 1) dans la suite de Prouhet-Thue-Morse est syndétique. De même pour la suite de Fibonacci.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Syndetic set » (voir la liste des auteurs)
  • Jillian McLeod, « Some notions of size in partial semigroups », Topology Proceedings, vol. 25,‎ 2000, p. 317-332 (lire en ligne)
  • Vitaly Bergelson et Neil Hindman, « Partition regular structures contained in large sets are abundant », J. Comb. Theory (Series A), vol. 93,‎ 2001, p. 18-36 (lire en ligne)
  • Vitaly Bergelson, « Minimal idempotents and ergodic Ramsey theory », dans Topics in Dynamics and Ergodic Theory, Cambridge University Press, coll. « London Math. Soc. Lecture Note Series » (no 310),‎ 2003 (lire en ligne), p. 8-39