Discussion:Pendule double

Lagrangien

Non non ce n'est pas un texte protégé mais un petit bout de texte que j'ai écrir hier soir en lisant quelques pages mathématiques de wikipedia. C'est le souvenir de propos d'un prof, mais aussi de discussions avec des amis étudiants, qui disaient que ce problème ne peut bien se poser qu'en mécanique lagrangienne.
J'allais par contre, pour la suite, commencer à chercher sur le web quelques informations sur le lagrangien du double pensule, pour l'écrire et donner les solution en fréquences. Mais ça c'est de la physique ultra classique, il n'y a pas de copyright là dessus.
A part ça, cet article serait mieux nommé "pendule double".

aah je sais ! c'est le petit bout de tex qui t'a fait croire à un copier-coller :) $M_1$ et $M_2$. Non non je vais bien écrire le lagrangien et les fréquences solutions en latex, mais hier j'étais trop fatigué pour chercher comment. Mais donc, oui, ce lagrangien et ces solutions, je vais les recopier (présents dans 90% des bouquins de mécanique). Je ne vais pas les retrouver :) — Le message qui précède, non signé, a été déposé par [[Utilisateur:{{{1}}}|{{{1}}}]] ([[Discussion utilisateur:{{{1}}}|discuter]])

• ok ok, pas de probleme dans ce cas (en effet, c'était le $M_1$ qui m'avait mis un doute). Si tu penses que le nom "Pendule Double" correspond mieus, n'hésites pas à utiliser à utiliser l'option renommer. Darkoneko (>o<) 20 jan 2005 à 06:57 (CET)

Pendule à entraînement circulaire uniforme

« Pour de petites oscillations et ${\frac {l_{1}\omega ^{2}}{g}}<<1\,$, l'équation se linéarise en $l_{2}{\ddot {\theta }}+g\theta =l_{1}\omega ^{2}\sin(\omega t)$ et le système se comporte donc en oscillateur harmonique forcé.

Si dans ce cas on choisit $\omega ={\sqrt {g/l_{2}}}\,$, on obtient un phénomène de résonance, qui se désactive à mesure que l'amplitude augmente.»

Cela ressemble à la résonance paramétrique du pendule simple ; n'y a t-il pas un problème logique avec la dernière phrase citée ci-dessus ? Lorsque le pendule entre en résonance, l'amplitude s'accroit fortement et l'approximation des petites oscillations n'est plus justifiée.

C'est sans doute parce que les non-linéarités doivent êtres prises en compte dans l'équation différentielle que la fréquence propre du pendule libre change, et donc que, ce pendule n'étant plus excité à sa fréquence propre, la résonance disparait, entrainant la décroissance de l'amplitude (jusqu'à ce que l'approximation harmonique redevienne valide ...)

Zweistein 18 mars 2006 à 17:45 (CET)

le pendule double.

C'est la conférence de Lewin au MIT qui peut vous permettre d'aborder le sujet de façon plus rationnelle. Vous avez donc l'angle au sommet theta et les 2 boules du pendule, la première est à une distance x1 de l'axe des y et l'autre à une distance x2 qui peuvent s'exprimer en sinus de l'angle theta, et y1 et y2 qui sont les dérivées de ces premières valeurs et qui sont en cosinus , et de là il tire une équation du 3ème degré qui se résout selon la règle de Kramer avec 2 coefficients C1 et C2, pour vous dire la façon d'aborder le problème.

Paramétrisation algébrique

Peut-être un travail inédit donc je ne l'ajoute pas directement, mais je trouve intéressant d'observer qu'il est possible de modéliser le pendule double sans utiliser de fonctions trigonométriques. Les formules sont énormes mais gérables (j'ai utilisé Mathematica).

L'idée est d'utiliser une projection stéréographique. Le Lagrangien devient alors :

${\frac {4{\dot {\lambda }}{\dot {\mu }}\left(ac\left(\lambda ^{2}\left(\mu ^{2}-1\right)+4\lambda \mu -\mu ^{2}+1\right)+2ad\left(\lambda ^{2}\mu -\lambda \mu ^{2}+\lambda -\mu \right)-2bc\left(\lambda ^{2}\mu -\lambda \mu ^{2}+\lambda -\mu \right)+bd\left(\lambda ^{2}\left(\mu ^{2}-1\right)+4\lambda \mu -\mu ^{2}+1\right)\right)-\left(\lambda ^{2}+1\right)\left(\left(\mu ^{2}+1\right)\left(4a\lambda \left(\mu ^{2}+1\right)-2b\left(\lambda ^{2}-1\right)\left(\mu ^{2}+1\right)+2c\left(\lambda ^{2}+1\right)\mu -d\left(\lambda ^{2}+1\right)\left(\mu ^{2}-1\right)\right)-2\left(\lambda ^{2}+1\right){\dot {\mu }}^{2}\right)+4{\dot {\lambda }}^{2}\left(\mu ^{2}+1\right)^{2}}{\left(\lambda ^{2}+1\right)^{2}\left(\mu ^{2}+1\right)^{2}}}$

où $\{(a,b),(c,d)\}\in \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}=1\}^{2}$ sont des paramètres non-dynamiques qui doivent être changés au cours de l'intégration.

Les équations d'Euler-Lagrange deviennent : $\left({\begin{array}{c}ac\left(\lambda ^{2}+1\right)\left(2\left(\lambda ^{2}\mu \left(\mu ^{2}-3\right)+\lambda \left(6\mu ^{2}-2\right)-\mu \left(\mu ^{2}-3\right)\right)\left(\mu '\right)^{2}+\left(-\lambda ^{2}\left(\mu ^{4}-1\right)-4\lambda \left(\mu ^{3}+\mu \right)+\mu ^{4}-1\right)\mu ''\right)+2ad\left(\lambda ^{2}+1\right)\left(\left(\mu ^{2}+1\right)\left(\lambda ^{2}(-\mu )+\lambda \left(\mu ^{2}-1\right)+\mu \right)\mu ''+\left(\lambda ^{2}\left(3\mu ^{2}-1\right)-2\lambda \mu \left(\mu ^{2}-3\right)-3\mu ^{2}+1\right)\left(\mu '\right)^{2}\right)+a\left(\lambda ^{4}-1\right)\left(\mu ^{2}+1\right)^{3}+bd\left(\lambda ^{2}+1\right)\left(2\left(\lambda ^{2}\mu \left(\mu ^{2}-3\right)+\lambda \left(6\mu ^{2}-2\right)-\mu \left(\mu ^{2}-3\right)\right)\left(\mu '\right)^{2}+\left(-\lambda ^{2}\left(\mu ^{4}-1\right)-4\lambda \left(\mu ^{3}+\mu \right)+\mu ^{4}-1\right)\mu ''\right)+2b\lambda \left(\lambda ^{2}+1\right)\left(\mu ^{2}+1\right)^{3}+4\lambda \mu ^{6}\left(\lambda '\right)^{2}+12\lambda \mu ^{4}\left(\lambda '\right)^{2}+12\lambda \mu ^{2}\left(\lambda '\right)^{2}+4\lambda \left(\lambda '\right)^{2}=2\left(\lambda ^{2}+1\right)\left(\left(\mu ^{2}+1\right)\left(bc\left(\lambda ^{2}(-\mu )+\lambda \left(\mu ^{2}-1\right)+\mu \right)\mu ''+\left(\mu ^{2}+1\right)^{2}\lambda ''\right)+bc\left(\lambda ^{2}\left(3\mu ^{2}-1\right)-2\lambda \mu \left(\mu ^{2}-3\right)-3\mu ^{2}+1\right)\left(\mu '\right)^{2}\right)\\4bc\left(\mu ^{2}+1\right)\left(\left(\lambda ^{2}+1\right)\left(\lambda ^{2}\mu -\lambda \mu ^{2}+\lambda -\mu \right)\lambda ''-\left(2\lambda ^{3}\mu -3\lambda ^{2}\left(\mu ^{2}-1\right)-6\lambda \mu +\mu ^{2}-1\right)\left(\lambda '\right)^{2}\right)+c\left(\lambda ^{2}+1\right)^{3}\left(\mu ^{4}-1\right)+2d\left(\lambda ^{2}+1\right)^{3}\mu \left(\mu ^{2}+1\right)+4\lambda ^{6}\mu \left(\mu '\right)^{2}+12\lambda ^{4}\mu \left(\mu '\right)^{2}+12\lambda ^{2}\mu \left(\mu '\right)^{2}+4\mu \left(\mu '\right)^{2}=2\left(\mu ^{2}+1\right)\left(\left(\lambda ^{2}+1\right)\left(\lambda ''\left(ac\left(\lambda ^{2}\left(\mu ^{2}-1\right)+4\lambda \mu -\mu ^{2}+1\right)+2ad\left(\lambda ^{2}\mu -\lambda \mu ^{2}+\lambda -\mu \right)+bd\left(\lambda ^{2}\left(\mu ^{2}-1\right)+4\lambda \mu -\mu ^{2}+1\right)\right)+\left(\lambda ^{2}+1\right)^{2}\mu ''\right)+2\left(\lambda '\right)^{2}\left(ac\left(-\left(\lambda ^{3}\left(\mu ^{2}-1\right)\right)-6\lambda ^{2}\mu +3\lambda \left(\mu ^{2}-1\right)+2\mu \right)+ad\left(-2\lambda ^{3}\mu +3\lambda ^{2}\left(\mu ^{2}-1\right)+6\lambda \mu -\mu ^{2}+1\right)+bd\left(-\left(\lambda ^{3}\left(\mu ^{2}-1\right)\right)-6\lambda ^{2}\mu +3\lambda \left(\mu ^{2}-1\right)+2\mu \right)\right)\right)\\\end{array}}\right)/$

Démonstration SVG/javascript.

--Grondilu (discuter) 30 janvier 2022 à 14:19 (CET)

Lien mort

Bonjour. Le lien externe "animation du pendule double" est mort. Celui-ci (youtube) pourrait éventuellement le remplacer : [1], je laisse les contributeurices de l'article en décider. Cordialement, SD — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Contre-exemple (discuter), le 8 mai 2022 à 21:31 (CEST)

Merci, j'ai retrouvé le lien et ajouté le votre Robert FERREOL (discuter) 9 mai 2022 à 08:48 (CEST)

Problème équation de Lagrange

Bonjour. N'y a t-il pas un problème du fait que la constante g n'intervient pas dans les équations de Lagrange (dans le bloc dans le cas m1=m2 et l1=l2) ? Benoit lx (discuter) 7 décembre 2023 à 18:49 (CET)