Discussion:Intégrale de Dirichlet

Méthode de Laplace

Je trouve que la démonstration utilisant Laplace est peu être un peu trouble, en effet plusieurs propriétés sont admises sans démonstration alors que ce calcul se résume effectivement à l'étude de l'intégrale à paramètre (même si il est vrai que citer la méthode de Laplace est plus intéressant qu'une étude d'intégrale à paramètre qui semble tomber du ciel) :

$F(p)=\int _{0}^{+\infty }{\textrm {e}}^{-px}\times {\frac {\sin x}{x}}{\textrm {d}}x$

De plus à la fin on conclut en faisant tendre p vers zero mais pour cela il faut montrer que F est continue en zéro, ce qui est le cas mais demande justification non? J'attends vos commentaires et suggestions et sinon je m'attellerais à la refonte de cette partie.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par 140Flo (discuter), le 15 juillet 2011.

Pour compléter ce qui a été suggéré ci-dessus, c'est une erreur classique que de penser que la transformée de Laplace permet directement de calculer la valeur de l'intégrale de Dirichlet. En effet, le fait que la fonction $x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}$ ne soit pas intégrable (ni au sens de Riemann généralisé, ni au sens de Lebesgue) ne permet de définir l'intégrale de Dirichlet que comme une limite d'intégrales

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\textrm {d}}x:=\lim _{y\to +\infty }\int _{0}^{y}{\frac {\sin x}{x}}{\textrm {d}}x$

Par conséquent, on ne peut donc pas appliquer un théorème classique de continuité d'intégrales à paramètre. Grosso modo, cela revient à échanger deux limites : lorsque $y$ tend vers $+\infty$ d'une part et lorsque $p$ tend vers 0 d'autre part :

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}{\textrm {d}}x:=\lim _{y\to +\infty }\int _{0}^{y}{\frac {\sin x}{x}}{\textrm {d}}x=\lim _{y\to +\infty }\lim _{p\to 0}\int _{0}^{y}{\textrm {e}}^{-px}\times {\frac {\sin x}{x}}{\textrm {d}}x{\stackrel {?}{\ =\ }}\lim _{p\to 0}\lim _{y\to +\infty }\int _{0}^{y}{\textrm {e}}^{-px}\times {\frac {\sin x}{x}}{\textrm {d}}x={\frac {\pi }{2}}.$

On peut le faire, mais ce n'est pas du tout une évidence ! Le théorème classique de continuité d'intégrales à paramètre ne permet que d'avoir l'égalité intermédiare :

$\int _{0}^{y}{\frac {\sin x}{x}}{\textrm {d}}x=\lim _{p\to 0}\int _{0}^{y}{\textrm {e}}^{-px}\times {\frac {\sin x}{x}}{\textrm {d}}x.$

--Olimess (discuter) 29 décembre 2018 à 14:59 (CET)

Autre méthode.

Bonjour,

Je propose d'ajouter une méthode qui permet de calculer l'intégrale de Dirichlet : en utilisant la formule de Lobachevsky (en).

Qu'en pensez-vous ? Merci. --AdrienLauze (discuter) 21 avril 2021 à 13:15 (CEST)