Intégrale de Dirichlet

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L' intégrale de Dirichlet est l'intégrale de la fonction sinus cardinal sur la demi-droite des réels positifs

\int_0^{+\infty}\frac{\sin(x)}x\,\textrm{d}x = \frac{\pi}2.

Il s'agit d'une intégrale impropre semi-convergente, c'est-à-dire que la fonction n'est pas intégrable au sens généralisé de Riemann, mais \lim_{a\to+\infty}\int_0^a\frac{\sin(x)}x~{\rm d}x existe et est finie.

Étude de la convergence[modifier | modifier le code]

  • On considère la fonction
    \begin{matrix}f \colon &\R_+^*& \rightarrow &\R\\ & x & \mapsto & \frac{\sin(x)}x.\end{matrix}
    En 0, sa limite à droite vaut 1, donc f est prolongeable en une application continue sur [0, +∞[, si bien qu'elle est intégrable sur [0, a] pour tout a > 0.
    Mais elle n'est pas intégrable en +∞, c'est-à-dire que
    \lim_{a\to+\infty}\int_0^a|f(x)|~{\rm d}x=+\infty.
  • Cependant,
    \lim_{a\to+\infty}\int_0^af(x)~{\rm d}x\quad{\rm existe~:}
    • Dirichlet[1], dans son article historique de 1829 sur les séries de Fourier, mentionne en passant une preuve basée sur le critère de convergence des séries alternées[2] :
      « On sait que \int_0^\infty \frac{\sin\gamma}{\gamma}~{\rm d}\gamma a une valeur finie et égale à π/2. Cette intégrale peut être partagée en une infinité d'autres, prises la première depuis γ = 0 jusqu'à γ = π, la seconde depuis γ = π jusqu'à γ = 2π, et ainsi de suite. Ces nouvelles intégrales sont alternativement positives et négatives, chacune d'elles a une valeur numérique inférieure à celle de la précédente […]. »
    • Une autre preuve, consistant essentiellement en une intégration par parties et un changement de variable, a été publiée en 1858[3], aussi en passant, par le professeur allemand Ferdinand Minding (de) qui dit l'avoir reçue plusieurs années avant d'un de ses auditeurs, S. N. Zwett. En traduisant textuellement, conservant la notation sin x2 alors en usage en Allemagne pour désigner (sin x)2 :
      « On a
\textrm{d}\frac{\sin x^2}{x} = \frac{\sin 2x}{x} \textrm{d}x - \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2\textrm{d}xd'où
\int_0^x \frac{\sin 2x}{x} \textrm{d}x=
\int_0^x \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \textrm{d}x + \frac{\sin x^2}x
ou
\int_0^{2a} \frac{\sin x}{x} \textrm{d}x=
\int_0^a \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \textrm{d}x+ \frac{\sin a^2}a.
De cette remarque suit encore pour a = ∞, comme on l'a souvent trouvé,
      \int_0^\infty \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \textrm{d}x=\frac{\pi}2. »
  • Les méthodes ci-dessous de calcul de l'intégrale fournissent encore d'autres preuves de son existence.

Calcul de l'intégrale[modifier | modifier le code]

Avec des suites[modifier | modifier le code]

La méthode consiste à poser

J_n=\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{\sin\big((2n+1)x\big)}{\sin x}~{\rm d}x,\quad K_n=\int_0^{\frac{\pi}2}\frac{\sin\big((2n+1)x\big)}x~{\rm d}x

et à montrer que la différence de ces deux suites tend vers 0, que la première est constante, égale à π/2, et que la deuxième tend vers l'intégrale de Dirichlet.

Avec le théorème des résidus[modifier | modifier le code]

En remarquant que x ↦ i(sin x)/x est la partie paire de x ↦ eix/x et en considérant la fonction complexe F : z ↦ eiz/z, le théorème des résidus appliqué aux intégrales du quatrième type, permettant de calculer une valeur principale de Cauchy — ou plus simplement ici : le théorème intégral de Cauchy — donne le résultat voulu.

Plus précisément, F admet un unique pôle, en 0. Considérons le contour défini comme suit : pour deux réels R > ε >0, on choisit les demi-cercles \mathcal{C}_R et \mathcal{C}_{\varepsilon} de centre O, de rayons R et ε, situés dans le demi-plan supérieur et on les relie par deux segments I et J. Cette courbe délimite un domaine borné du plan ne contenant pas l'origine.

Contour pour l'intégrale de Dirichlet

Le théorème de Cauchy donne alors

0=\int_{\mathcal{C}_R}\frac{{\rm e}^{{\rm i}z}}z~{\rm d}z+\int_{I\cup J}\frac{{\rm e}^{{\rm i}z}}z~{\rm d}z+\int_{\mathcal{C}_{\varepsilon}}\frac{{\rm e}^{{\rm i}z}}z~{\rm d}z=\int_{\mathcal{C}_R}\frac{{\rm e}^{{\rm i}z}}z~{\rm d}z+2{\rm i}\int_{\varepsilon}^R\frac{\sin x}x~{\rm d}x+\int_{\mathcal{C}_{\varepsilon}}\frac{{\rm e}^{{\rm i}z}}z~{\rm d}z

d'où, en faisant tendre R vers +∞ et ε vers 0 :

0=0+2{\rm i}\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x~{\rm d}x-{\rm i}\pi,

ce qui permet de conclure :

\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x~{\rm d}x=\frac{\pi}2.

On peut aller un peu plus vite en considérant la fonction z ↦ (eiz – 1)/z qui se prolonge en une fonction entière. On intègre alors sur le contour constitué du demi-cercle \mathcal{C}_{R} et de l'intervalle [–R, R]. Par le théorème intégral de Cauchy,

0=\int_{\mathcal{C}_R}\frac{{\rm e}^{{\rm i}z}-1}z~{\rm d}z+\int_{-R}^R\frac{{\rm e}^{{\rm i}x}-1}x~{\rm d}x=\int_{\mathcal{C}_R}\frac{{\rm e}^{{\rm i}z}}z~{\rm d}z-\int_{\mathcal{C}_R}\frac{{\rm d}z}z+2{\rm i}\int_0^R\frac{\sin x}x~{\rm d}x=\int_{\mathcal{C}_R}\frac{{\rm e}^{{\rm i}z}}z~{\rm d}z-{\rm i}\pi+2{\rm i}\int_0^R\frac{\sin x}x~{\rm d}x

d'où, en faisant tendre R vers +∞ :

0=0-{\rm i}\pi+2{\rm i}\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x~{\rm d}x

et l'on conclut comme précédemment.

Avec une transformée de Laplace[modifier | modifier le code]

Grâce à la transformée de Laplace, on peut calculer la valeur de l'intégrale de Dirichlet.

En effet, admettons que si \mathcal{L}^{-1}[F(p)]=\operatorname{f}(x), alors \mathcal{L}^{-1}\left[\int_p^{+\infty}F(u)\textrm{d}u\right]=\frac{\operatorname{f}(x)}{x}.

Choisissons F(p)=\frac{1}{p^2+1} et \operatorname{f}(x)=\sin x.


On sait de plus que \mathcal{L}(\sin x)=\frac{1}{p^2+1} d'où \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{p^2+1}\right)=\sin x.

Or \int_p^{+\infty}\frac{\textrm{d}u}{u^2+1}=\left[\arctan u\right]_p^{+\infty}=\frac{\pi}{2}-\arctan  p.

La propriété admise donne alors \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{\pi}{2}-\arctan  p\right]=\frac{\sin x}{x}.

En revenant à la définition de la transformation de Laplace, il vient \int_0^{+\infty}\textrm{e}^{-px}\times\frac{\sin x}{x}\textrm{d}x=\frac{\pi}{2}-\arctan  p.

En particulier, si p\to0, on obtient \int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\textrm{d}x=\frac{\pi}{2}.

Notons qu'une méthode pour démontrer la formule de transformée de Laplace inverse est d'utiliser la formule des résidus. La méthode de calcul direct est donc, de ce point de vue, préférable.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Mr. Lejeune-Dirichlet, « Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 4, 1829, p. 157-169 (p. 161), arXiv:0806.1294.
  2. a et b Comme f est nulle à l'infini, pour étudier la limite éventuelle de son intégrale de 0 à a quand a+∞, il suffit de le faire pour a parcourant les valeurs d'une suite arithmétique arbitraire.
  3. (de) F. Minding, « Ueber den Werth des integrals \int_0^\infty \frac{\sin x^m}{x^n}~{\rm d}x wenn m und n positive ganze Zahlen sind und m > n oder m = n ist », Archiv der Math. und Phys., 1858, p. 177.

Référence[modifier | modifier le code]

Nino Boccara, Fonctions analytiques [détail de l’édition]