Cône tangent

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En mathématiques, le cône tangent est l'approximation au premier ordre d'un ensemble en un point, comme l'application dérivée d'une fonction est son approximation au premier ordre en un point. Cette notion est, par exemple, utilisée en optimisation pour établir les conditions d'optimalité du premier ordre.

Notations[modifier | modifier le code]

On note \mathbb{R} l'ensemble des nombres réels, tandis que l'ensemble des nombres réels positifs et celui des nombres réels strictement positifs sont respectivement notés


\mathbb{R}_+:=\{t\in\mathbb{R}:t\geqslant 0\}\qquad\mbox{et}\qquad \mathbb{R}_{++}:=\{t\in\mathbb{R}:t>0\}.

Si \Lambda\subset\mathbb{R} et P est une partie d'un espace vectoriel \mathbb{E} sur \mathbb{R}, on note


\Lambda P:=\{\lambda x:\lambda\in\Lambda, x\in P\}.

Lorsque x\in\mathbb{E}, on utilise la notation simplifiée \Lambda x:=\Lambda\{x\}.

Une partie K d'un espace vectoriel sur \mathbb{R} est un cône si \mathbb{R}_{++}K\subset K.

Cône des directions admissibles[modifier | modifier le code]

Soient \mathbb{E} un espace vectoriel sur \mathbb{R}, X une partie de \mathbb{E} et x un point de \mathbb{E}.

Cône des directions admissibles — Le cône des directions admissibles de X en x\in\mathbb{E} est le cône défini par


T_x^aX:=\{d\in\mathbb{E}:x+td\in X pour tout réel t>0 petit\}.

Cônes tangent et normal au sens de Bouligand[modifier | modifier le code]

Cône tangent[modifier | modifier le code]

Soient \mathbb{E} un espace vectoriel topologique sur \mathbb{R}, X une partie de \mathbb{E} et x un point de \mathbb{E}.

Comme pour le calcul de la dérivée d'une fonction, le calcul des directions tangentes qui sont les éléments du cône tangent requiert un passage à la limite. Il n'est pas satisfaisant en effet de prendre le cône des directions admissibles comme cône tangent à X en x. En effet, le cône des directions admissibles à un cercle de \mathbb{R}^2 est vide en tout point, si bien que l'on ne retrouve pas avec cette notion, celle des directions tangentes qui nous est familière. Une possibilité est de s'y prendre comme suit. La notation t_k \downarrow 0 signifie que les réels t_k tendent vers zéro par des valeurs strictement positives.

Direction tangente au sens de Bouligand — On dit que d\in\mathbb{E} est une direction tangente (au sens de Bouligand[1]) à X\subset\mathbb{E} en x\in\mathbb{E} s'il existe des suites \{x_k\} \subset\mathbb{E} et \{t_k\} \subset\mathbb{R} telles que


\{x_k\} \subset X,\qquad t_k \downarrow 0\qquad\mbox{et}\qquad\frac{x_k - x}{t_k}\to d.

Cône tangent au sens de Bouligand — Le cône tangent (au sens de Bouligand) à X\subset\mathbb{E} en x\in\mathbb{E} est l'ensemble des directions tangentes (au sens de Bouligand) à X en x. On le note T_xX (notation de la géométrie différentielle) ou T_X(x) (notation de l'analyse convexe).

La définition de direction tangente précédente est la plus opérationnelle, celle qui est la plus utilisée, mais elle n'est pas facile à interpréter. En faisant jouer le rôle principal aux directions d_k:=(x_k - x)/t_k, on montre aisément qu'il revient au même de dire que d\in T_xX si, et seulement si, il existe des suites \{d_k\}\subset\mathbb{E} et \{t_k\}\subset\mathbb{R} telles que


d_k \to d, \qquad t_k \downarrow 0\qquad \mbox{et}\qquad x+t_kd_k\in X.

Autrement dit, d est tangente à X en x s'il existe une suite de directions d_k\subset\mathbb{E} convergeant vers d, telles que x+\mathbb{R}_{++}d_k rencontre X en des points de plus en plus proche de x lorsque k\to\infty.

Cône normal[modifier | modifier le code]

Pour définir le cône normal, on a besoin d'un produit scalaire sur \mathbb{E}. On suppose donc que \mathbb{E} est un espace hilbertien et on note \langle\cdot,\cdot\rangle son produit scalaire.

Vecteur normal, cône normal — On dit que p\in \mathbb{E} est normal à X\subset\mathbb{E} en x\in X si


\forall d\in T_xX\,:\quad \langle p,d\rangle\leqslant 0.

On note N_x X ou N_X(x) l'ensemble des vecteurs normaux à X en x et on l'appelle le cône normal.

Le cône normal est donc le cône dual négatif du cône tangent : N_x X=(T_x X)^-. Par conséquent, il s'agit d'un cône convexe fermé (on verra que le cône tangent n'est pas, quant à lui, nécessairement convexe).

Pour un ensemble convexe, le cône normal est en généralement défini de manière différente, mais équivalente.

Cône normal à un convexe — Si C est un convexe de \mathbb{E} son cône normal en x\in C peut aussi s'écrire


N_C(x) =\{d\in\mathbb{E}:\langle d,y-x\rangle\leqslant 0,~\forall\, y\in C\}.

Par ailleurs, pour un ensemble convexe dans un espace euclidien (donc de dimension finie), le cône normal en un point de la frontière relative n'est pas réduit à l'élément nul. Ci-dessous, la frontière relative de l'ensemble C est notée \partial_{\rm rel}C.

Cône normal à un convexe — Soient C est un convexe d'un espace euclidien \mathbb{E}, x\in C\cap\partial_{\rm rel}C et \mathbb{E}_0:=\operatorname{aff}(C)-\operatorname{aff}(C) le sous-espace vectoriel associé à l'enveloppe affine \operatorname{aff}(C) de C. Alors, N_C(x)\cap\mathbb{E}_0 contient un élément non nul.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Voici quelques propriétés du cône tangent, que nous donnons dans le cas où \mathbb{E} est de dimension finie. Elles utilisent les notations et concepts suivants :

On rappelle que \operatorname{aff}\,X-\operatorname{aff}\,X est le sous-espace vectoriel associé au sous-espace affine \operatorname{aff}\,X.

Propriétés du cône tangent —  Soient \mathbb{E} un espace vectoriel de dimension finie, X une partie de \mathbb{E} et x\in\mathbb{E}.

  1. T_xX est un cône fermé (non nécessairement convexe),
  2. T_xX est vide si x\notin \overline{X},
  3. T_xX=\mathbb{E} si x\in X^\circ,
  4. T_xX=\operatorname{aff}\,X-\operatorname{aff}\,X si x\in \operatorname{intr}\,X,
  5. si \{X_i\}_{i\in I} est une famille de parties X_i de \mathbb{E}, on a
    1. T_x(\cap_{i\in I}X_i)\subset \cap_{i\in I}T_xX_i,
    2. T_x(\cup_{i\in I}X_i)\supset \cup_{i\in I}T_xX_i, avec égalité si I est fini.

Pour avoir l'égalité au point 5.1, on se sert de conditions de qualification des ensembles X_i, un enjeu important dans l'écriture des conditions d'optimalité en optimisation.

Dans le cas où l'ensemble est convexe, on peut relier le cône des directions admissibles au cône tangent et donner quelques propriétés supplémentaires de ce dernier.

Cône tangent à un ensemble convexe — Soit x un point dans l'adhérence d'un convexe C d'un espace vectoriel de dimension finie \mathbb{E}. Alors

  1. T_x^aC=\mathbb{R}_{++}(C-x) et est convexe,
  2. T_xC=\overline{T_x^aC},
  3. T_xC est convexe,
  4. \operatorname{aff}\,(T_xC)=\operatorname{aff}\,(T^a_xC)=(\operatorname{aff}\,C)-x.

Si X n'est pas convexe, T_xX n'est pas nécessairement convexe, comme le montre l'exemple suivant :


X:=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1^2-x_2^2\geqslant 0\}.

En effet, T_0X=X, qui n'est pas convexe.

Le résultat suivant s'intéresse à l'expression du cône tangent à un ensemble convexe qui est le résultat de la transformation d'un convexe par une application affine.

Transport affine d'un cône tangent à un ensemble convexe — On suppose que \mathbb{E} et \mathbb{F} sont deux espaces vectoriels et que a:\mathbb{E}\to\mathbb{F}:x\mapsto Ax+b est une application affine (A:\mathbb{E}\to\mathbb{F} est linéaire et b\in\mathbb{F}).

  1. Si C est un convexe de \mathbb{E} et si x\in C, alors

    T_{a(x)}a(C)=\overline{A(T_xC)}.

  2. Si C est un convexe de \mathbb{F} et si x\in a^{-1}(C), alors

    T_x(a^{-1}(C))= A^{-1}(T_{a(x)}[C\cap\mathcal{R}(a)]).

Voici un exemple dans lequel l'adhérence est nécessaire au point 1 :

  • C:=\{x\in\R^3:x_1^2+x_2^2\leqslant x_3^2,~x_3\geq0\},
  • a\equiv A:x\in\R^3\to\R^2:x\mapsto(x_1,x_2+x_3) et
  • x=0\in\R^3.

Alors T_xC=C et A(T_xC)=A(C)=\{0\}\cup\{y\in\R^2:y_2>0\} n'est pas fermé.

Transport affine d'un cône normal à un ensemble convexe — On suppose que \mathbb{E} et \mathbb{F} sont deux espaces euclidiens et que a:\mathbb{E}\to\mathbb{F}:x\mapsto Ax+b est une application affine (A:\mathbb{E}\to\mathbb{F} est linéaire et b\in\mathbb{F}). On note A^* l'adjoint de A.

  1. Si C est une convexe de \mathbb{E} et si x\in C, alors

     N_{a(x)}a(C)=(A^*)^{-1}(N_xC).

  2. Si C est un convexe de \mathbb{E} et si x\in a^{-1}(C), alors

    N_x(a^{-1}(C)) = A^*(N_{a(x)}[C\cap\mathcal{R}(a)]).

    En particulier, l'ensemble A^*(N_{a(x)}[C\cap\mathcal{R}(a)]) est fermé.

La fermeture de A^*(N_{a(x)}[C\cap\mathcal{R}(a)]) affirmée au point 2 peut paraître surprenante, car l'image par une application linéaire d'un cône convexe fermé n'est pas nécessairement fermée. En guise de certification, voici une autre preuve de ce fait. On sait que l'image par une application linéaire d'un convexe fermé est fermée si l'intersection du cône asymptotique de l'ensemble convexe avec le noyau de l'application linéaire est un sous-espace vectoriel. Dans le cas présent, N_{a(x)}[C\cup\mathcal{R}(a)] est un cône convexe fermé, qui est donc égal à son cône asymptotique. Par ailleurs, ce cône contient \mathcal{R}(A)^\perp, si bien que son intersection avec \mathcal{N}(A^*)=\mathcal{R}(A)^\perp est le sous-espace vectoriel \mathcal{R}(A)^\perp. Donc A^*(N_{a(x)}[C\cup\mathcal{R}(a)]) est fermé.

Exemples[modifier | modifier le code]

Polyèdre convexe[modifier | modifier le code]

Soit P un polyèdre convexe de \mathbb{R}^n, que l'on suppose donné comme une intersection d'un nombre fini de demi-espaces :


P:=\{x\in\mathbb{R}^n:Ax\leqslant b\},

A est une matrice de type m\times n, b\in\mathbb{R}^m et l'inégalité est entendue composante par composante : (Ax)_i\leqslant b_i pour tout i\in\{1,\ldots,m\}. On note pour un point x\in P :


I(x):=\{i\in\mathbb{N}:1\leqslant i\leqslant m,~(Ax-b)_i=0\}.

Alors les cônes tangent et normal en x\in P s'écrivent

T_xP=T^a_xP=\{d\in\mathbb{R}^n:(Ad)_{I(x)}\leqslant 0\},
N_xP=\operatorname{cone}\,\{A_i^{\!\top\!}:i\in I(x)\},

A_i^{\!\top\!}\in\mathbb{R}^n est le vecteur formé par la ligne i de A et "\operatorname{cone}" désigne l'opérateur qui prend l'enveloppe conique-convexe d'un ensemble (le plus petit cône convexe contenant l'ensemble). Pour l'écriture du cône normal, on a supposé que \mathbb{R}^n était muni du produit scalaire euclidien.

Cône des matrices semi-définies positives[modifier | modifier le code]

On note \mathbb{S}^n l'ensemble des matrices symétriques d'ordre n dont les éléments sont réels, \mathbb{S}^n_+ le cône de \mathbb{S}^n formé des matrices semi-définies positives et \mathbb{S}^n_-=-\mathbb{S}^n_+ le cône de \mathbb{S}^n formé des matrices semi-définies négatives. L'espace vectoriel \mathbb{S}^n est muni du produit scalaire


(A,B)\in\mathbb{S}^n\times\mathbb{S}^n\mapsto\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB),

\operatorname{tr} désigne la trace. On note \mathcal{N}(A) le noyau de A\in\mathbb{S}^n.

Les cônes tangent et normal à \mathbb{S}^n_+ en A\in\mathbb{S}^n_+ s'écrivent

T_A\mathbb{S}^n_+=\{D\in\mathbb{S}^n:v^{\!\top\!} Dv\geqslant 0, pour tout v\in\mathcal{N}(A)\},
N_A\mathbb{S}^n_+=\{N\in\mathbb{S}^n_-:\langle A,N\rangle=0\}=\mathbb{S}^n_-\cap(\mathbb{R}\,A)^\perp.

Qualification de contraintes[modifier | modifier le code]

Un ensemble peut être représenté au moyen de fonctions. Par exemple, on peut utiliser des contraintes d'égalité et d'inégalité comme ci-dessous


X=\{x\in \mathbb{E}:c_E(x)=0, c_I(x)\leqslant 0\},

où les contraintes d'égalité sont définies au moyen de la fonction c_E:\mathbb{E}\to\mathbb{R}^{m_E} et les contraintes d'inégalité sont définies au moyen de la fonction c_I:\mathbb{E}\to\mathbb{R}^{m_I}. L'inégalité vectorielle c_I(x)\leqslant 0 doit ici être entendue composante par composante. On note E l'ensemble des indices des contraintes d'égalité, qui s'écrivent donc aussi c_i(x)=0 pour tout indice i\in E. De même pour l'ensemble I des contraintes d'inégalité.

Se pose alors la question de savoir calculer le cône tangent en un point x à partir des dérivées premières des fonctions c_E et c_I en x.

Il est naturel de s'intéresser à l'expression suivante obtenue en linéarisant les fonctions c_E et c_I en x :


T'_xX:=\{d \in \mathbb{E} : c'_E(x)\cdot d = 0, \; c'_{I^0(x)} (x) \cdot d \leqslant 0\},

où on a noté


I^0(x) := \{i \in I : c_i (x) = 0\}.

On peut montrer que, sous des hypothèses raisonnables, on a toujours

T_xX\subset T'_xX.

On aimerait avoir égalité pour pouvoir calculer le cône tangent par une formule explicite, mais cette égalité n'est pas toujours vérifiée. On dit que les contraintes (on devrait dire les fonctions définissant les contraintes) c_E et c_I sont qualifiées en x si T_xX = T'_xX. Comme T_xX ne dépendant que de l'ensemble X, pas des fonctions c_E et c_I, il s'agit d'une notion assurant que la représentation de X par c_E et c_I convient.

Ces questions sont davantage développées dans l'article Qualification de contraintes.

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. G. Bouligand (1932), Introduction à la Géométrie Infinitésimale Directe, Gauthier- Villars, Paris.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) J. F. Bonnans, A. Shapiro (2000). Perturbation Analysis of Optimization Problems. Springer Verlag, New York.
  • J.-B. Hiriart-Urruty (1996). L’Optimisation. Que sais-je, n° 3184. Presses Universitaires de France.
  • (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (1993). Convex Analysis and Minimization Algorithms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 305-306. Springer-Verlag.
  • (en) R. T. Rockafellar (1993). Lagrange multipliers and optimality. SIAM Review, 35, 183– 238.