Discussion:Polynôme formel

Polynômes dérivés

Bonjour,

Il y a des pièges à éviter quand on travaille sur un anneau A de caractéristique positive. Ainsi, un polynôme non-constant peut avoir une dérivée nulle. Le noyau de la dérivation contient le sous-anneau A[X^d] des polynômes en X^d si d est la caractéristique de A. Il y a égalité si d est premier. Mais si A est de caractéristique 4 par exemple, 2X^2 est de dérivée nulle mais n'est pas un polynôme en X^4.

Pour le critère de séparabilité, il faudrait préciser ce qu'on entend par racine. En général il s'agit de racine dans un sur-anneau. Le plus simple serait de se restreindre aux corps commutatifs K, et de parler de racines multiples dans une extension de K. Attention le critère est écrit à l'envers: P et P' sont premiers entre eux <=> P n'a pas de racine multiple. Liu (d)

Tu as tout à fait raison de souligner l'imprécision du texte. Ta formulation me semble néanmoins un peu dangereuse, P = (X² + 2)² n'est pas premier avec sa dérivée, mais ne possède aucune racine multiple dans Q. Je sais bien que i√2 est une racine de P, car une racine n'est jamais définie comme élément du corps des coefficients, mais j'ai préféré pomper la formulation dans une référence fiable. Dis moi si cela te convient. Jean-Luc W (d) 22 décembre 2008 à 13:14 (CET)

L'énoncé rigoureux est P et P' sont premiers entre eux <=> P n'a pas de racine multiple dans la clôture algébrique de K. Je ne suis pas très fort pour les références, mais ce doit se trouver dans n'importe quel chapitre sur les extensions (séparables) de corps. Le problème de cet énoncé est que conceptuellement il semble un peu difficile pour le public visé par le début de l'article. Liu (d)

Théoriquement, c'est maintenant corrigé et sourcé. Dans l'article Racine d'un polynôme, je précise que tout corps contenant les racines contient (à un isomorphisme près) le corps de décomposition et que les auteurs parlent parfois de racines, sans préciser le corps. A ce détail près, nos deux formulations sont exactement équivalentes et la preuve, disponible à extension séparable fait attention au détail de la caractéristique.

Merci Liu

Merci de m'aider sur cet article.

Ta remarque est imparable, il faut en effet remettre les choses à l'endroit. Il manque encore le cas d'un anneau A intègre, noethérien et factoriel, avec une arithmétique plus subtile. Sur l'algèbre linéaire, il manque la formule de Taylor, ensuite l'analyse des résultants et discriminant. Tu vois autre chose ? Jean-Luc W (d) 21 décembre 2008 à 16:10 (CET)

Les propriétés de transfert de A vers A[X] (noethérianité, factorialité etc) ne sont pas toujours faciles à démontrer. Mais la littérature est abondante. En une variable je ne vois pas quoi ajouter à ce que tu dis (peut-être les polynômes numériques, i.e. les polynômes à coefficients dans Q, qui prennent des valeurs entières aux points entiers). Attention dans la partie linéaire: les vocabulaires (sous-espaces vectoriels etc) que tu utilises sont souvent réservés aux espaces vectoriels (donc quand A est un corps), alors que tu te places la plupart du temps sur un anneau A général. Liu (d)

J'achète ton idée sur l'absence de position sur l'anneau. Est-il un corps commutatif ou un anneau commutatif unitaire, intègre (ou plus si affinité) ? L'article n'est pas clair. Je réfléchis sur l'idée des polynômes numériques, est-ce essentiel ? Pour l'instant je ne sais pas. En train d'énergie, si tu peux regarder Polynôme en plusieurs indéterminées se serait une excellente nouvelle. Jean-Luc W (d) 22 décembre 2008 à 01:48 (CET)

Pour le public visé par le début de l'article, il me semble qu'il faut se restreindre aux coefficients dans un corps commutatif. Liu (d)

J'ai pris le choix du corps commutatif dans cet article. Pour ceux qui veulent aller plus loin, la configuration est traitée dans arithmétique des polynômes. La relecture de multiple sources montre que le titre n'est pas idéal, ce serait plutôt Anneau des polynômes. Je compte renommer, si tu n'y vois pas d'inconvénient. Merci encore pour ton aide. Jean-Luc W (d) 28 décembre 2008 à 00:30 (CET)

... et on lui adjoint X

Je te rappelle, Jean-Luc, cette question qui reste dans l'introduction.Claudeh5 (d) 22 décembre 2008 à 06:37 (CET)

Je te rappelle, Claude, que cette question est traitée : La structure est constituée par les nombres, le polynôme X ainsi que les sommes de puissances de X multipliés par un nombre. Jean-Luc W (d) 22 décembre 2008 à 09:46 (CET)

Il faut croire que je n'ai pas tout lu ou pas tout compris (!). M'est avis que l'on ferait aussi bien de dire que les éléments de A[X] sont de la forme $\sum _{k=0}^{N}{a_{k}X^{k}}$ où les a_k sont des éléments de A et X, l'indéterminée.Claudeh5 (d) 22 décembre 2008 à 18:46 (CET)

On le dit, mais plus tard, au début on s'adresse aussi à un public qui ne maitrise pas nécessairement la notation sigma. Il est fort probable que quelqu'un qui connaisse ce type de notation est une vague idée de ce qu'est un polynôme. Pour les autres, on dit ceci, sans faire usage de paramètres ou de notations qui révèlent un niveau trop élevé :

La structure est constituée par les nombres, le polynôme X ainsi que les sommes de puissances de X multipliés par un nombre. La structure est généralement notée A[X]. Les règles d'addition et de multiplication ne sont pas modifiées dans la nouvelle structure, ainsi X + X est égal à 2.X, ou encore X.X est égal à X². Il existe toujours une forme compacte pour exprimer une somme dans le monde des nombres, par exemple 1 + 2 peut s'écrire 3. Pour les polynômes formels, ce n'est plus le cas. L'expression X + 1 ne se factorise pas. Des exemples de polynômes formels sont :

$X^{2}+2X+1,\quad 3X^{3}+4X+5$

La suite de l'article fait usage d'une notation de cette nature. Jean-Luc W (d) 22 décembre 2008 à 23:51 (CET)

Un polynôme n'admet jamais plus de racines que son degré

Dans un corps ! Claudeh5 (d) 22 décembre 2008 à 06:41 (CET)

Dérivation formelle au Moyen Age?

Je cite un passage de l'article concernant l'histoire: Certaines méthodes sont développées, comme la dérivation formelle d'un polynôme dès le XIIe siècle. Ceci me parait très improbable (en ce qui concerne la dérivation). Avant l'invention du calcul différentiel, les mathématiciens n'auraient pas eu de motivation pour ça! Quant à l'utilité de la notion dans un contexte purement algébrique (comme la montre plus loin cet article) elle me semble encore plus moderne (pas avant le 20e siècle, j'imagine) --Ulysse (alias UKe-CH) (d) 22 décembre 2008 à 20:48 (CET)

En fait, si. Étonnant n'est-ce pas ? Tu le trouves dans le Rashed ou encore dans la référence de l'article : « Son successeur Sharaf al-Dîn al-Tûsî (xiie siècle) va étudier de façon plus rigoureuse les conditions d’existence de ces points d’intersection, dont l’abscisse détermine la racine positive demandée ; ceci va l’amener à se pencher sur des problèmes de localisation et de séparation des racines, l’obliger à définir la notion de maximum d’une expression algébrique (en introduisant la dérivée formelle d’un polynôme). Une autre innovation d’al-Tûsî consiste à traiter, en même temps que la résolution géométrique, la résolution numérique des équations du troisième degré. Il développe pour cela une variante de la méthode de Ruffini Horner. » H. Bellosta. Le gras dans la citation est de moi. Crois tu que je devrais mettre cette citation dans la référence ? Jean-Luc W (d) 22 décembre 2008 à 21:03 (CET)

Une notice en bas de page (référencée) serait une bonne chose, en effet. Moi-même je comprends mieux comme ça que ce soit possible. Encore que ça reste étonnant qu'on ait pu trouver cette façon de déterminer les extréma de polynômes à cette époque-là, des Arabes donc ...--Ulysse (alias UKe-CH) (d) 22 décembre 2008 à 21:37 (CET)

La référence est déjà là, je la complète (c'est la numéro 5). Oui, j'ai aussi trouvé très étonnant que la dérivée formelle puisse apparaître absolument sans intuition de calcul différentiel.Jean-Luc W (d) 22 décembre 2008 à 22:09 (CET)

PS: tu trouves aussi l'usage de la dérivée formelle chez Gauss. A l'age de 17 ans (de mémoire 1797 ou 1798 mais non sourcé). Il utilise cette technique (publié en 1801) dans ses recherches arithmétiques pour factoriser le polynôme cyclotomique et réussir là où que Van der Monde avait échoué. La dérivée formelle est utilisé sur des polynômes à coefficients dans Z/pZ. Jean-Luc W (d) 22 décembre 2008 à 21:15 (CET)

Cela dit, il me semble beaucoup plus étonnant de dériver au moyen-age que d'utiliser une dérivée formelle en 1790, vue que la dérivée tout court existait déjà.Claudeh5 (d) 25 décembre 2008 à 20:38 (CET)

Je suis aussi de cet avis, mais dériver un polynôme à coefficients dans un ensemble discret, c'était tout de même très élégant. Jean-Luc W (d) 28 décembre 2008 à 00:58 (CET)

Référence texte Michel Delord

Je suis cité dans le texte. Je préférerais que ce soit sous la forme suivante, à mon avis plus claire et plus lisible pour un non matheux. [

L'ensemble des polynômes A[X] ressemble à bien des égards à celui des entiers. Les deux ensembles sont équipés de deux opérations : l'addition et la multiplication et ces opérations vérifient des propriétés regroupées sous le nom d'axiomes et définissant une structure dite d'anneau. L'élément neutre de l'addition est le polynôme constant 0 et si A contient un élément neutre pour la multiplication, généralement noté 1, l'élément neutre de A[X] pour la multiplication est le polynôme constant 1. L'expression polynôme constant signifie qu'il s'exprime uniquement à l'aide d'une constante et sans monôme de degré strictement supérieur à 0.

L'analogie va plus loin. Michel Delord remarque dans « Opérations arithmétiques et algèbre des polynômes » [ http://michel.delord.free.fr/ar-alg.pdf ] que l'écriture décimale positionnelle du nombre 3021 s'écrit aussi 3×103 + 2×101 + 1. Cette écriture possède des analogies avec le polynôme f(X) = 3X3 + 2X + 1. La valeur 10 a été remplacée par l'indéterminée. [De même, l’écriture de 21 = 2×101 + 1 ressemble à celle de g(X) = 2X+1]. Cette analogie est flagrante si l'on cherche à additionner 3021 avec 21. Les coefficients des différentes puissances de 10 s'additionnent entre eux comme les coefficients des puissances de l'indéterminée. Dans un cas on trouve

     3021 + 21  =  3×103 + 4×101 + 2 et dans l'autre 
     f(X)+ g(X) =  3X3    + 4X1    + 2. 

Une multiplication des deux nombres 3021 et 21 et des deux polynômes f(X) et g(X) donnent encore des résultats semblables :

     3021 × 21   =  6×104 + 3×102 + 4 × 10 + 1 et 
     f(X) × g(X) =   6X4  +   3X2  +   4 X     + 1

L'analogie n'est pas totale, sa limite apparaît si une retenue se présente dans les opérations. Les mécanismes de retenues dans l'addition et la multiplication des entiers en système décimal ne sont pas les mêmes que pour les polynômes.[…] ]

Ceci dit, je reviendrai, dès que j'ai fini le texte, sur la liaison qui existe non seulement entre les polynômes formels et la numération décimale de position mais entre les structures monômiales et une majorité de systèmes de numération. Cordialement Michel Delord

Je suis peut-être obtu, mais l'analogie me parait être tirée par les cheveux et je ne vois pas d'intérêt mathématique ni ce que l'on peut en tirer. Il y a de vraies analogies entre l'anneau des entiers Z et l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps fini, mais la comparaison ne se fait pas de cette manière. UL (d) 31 décembre 2012 à 22:34 (CET)