Discussion:Axiome de l'ensemble des parties
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Vivre dans un ensemble[modifier le code]
L'article dit quelque part : « L'entier de Von-Neumann n « vit » en effet dans l'ensemble des parties itéré n fois ». Certes je comprends bien ce que ça veut dire, mais le statut de la "vie dans un ensemble" mérite quelques compléments d'information, étant donné le contexte dans lequel ça apparait : une théorie sans axiome de l'ensemble des parties admet des uréléments parce que les entiers définis selon von Neumann vivent dans cette itération de l'ensemble des parties. Lu comme ça, on pourrait en déduire que la définition de von Neumann suppose l'axiome de l'ensemble des parties. Y a-t-il une source là-dessus ? Michel421 parfaitement agnostique 11 juillet 2010 à 11:58 (CEST)
- Si par entier de von Neumann on entend les ordinaux finis, comme ceux ci sont construits à partir du vide et de la règle n+1 = n U {n}, on n'a besoin que de l'ax de l'ens vide (on l'a pas le remplacement aussi) + axiome de la paire et axiome d'extentionalité (pour le singleton) + axiome de l'union. Donc l'ax de l'ensemble des parties n'est pas nécessaire. La phrase que tu pointes me semble donc bien laisser croire du faux. --Epsilon0 ε0 11 juillet 2010 à 21:58 (CEST)
Ç'avait été mis par Proz, c'est en rapport avec la hiérarchie cumulative. Effectivement, un lecteur non averti pourrait sur-interpréter. Je pense qu'il faudrait le déplacer dans un paragraphe à faire, qui serait consacré à cette hiérarchie. Michel421 parfaitement agnostique 11 juillet 2010 à 23:38 (CEST) C'est-à-dire qu'à chaque étape, on reste dans le fini ; or dans le fini, l'ensemble des parties est une conséquence des autres axiomes. Michel421 parfaitement agnostique 12 juillet 2010 à 13:18 (CEST)
Oui ce peut être une bonne idée.
- Maintenant en y réfléchissant j'ai l'impression que l'on a mieux que le cas fini :
- « L'entier de Von-Neumann n « vit » en effet dans l'ensemble des parties itéré n fois ».
- Pour mieux formuler :
- 1/ j'oublie ce mot "vit" pour le remplacer par "appartient" et
- 2/ j'oublie cette notion "d'entier de von neumann" (car je ne suis pas sûr de la définition) pour parler d'ordinaux.
- Je crois qu'on a le cas plus général suivant :
- L'ordinal alpha appartient à l'ensemble des parties itéré alpha+1 fois à partir de l'ensemble vide
- Soit : Alpha /in PAlpha+1(0).
A vérifier néanmoins. --Epsilon0 ε0 12 juillet 2010 à 22:01 (CEST)
- "alpha fois" ça ne se dit pas trop si alpha est infini. On parle plutôt de hiérarchie et il faut en parler dans cet article, sans non plus trop s'y appesantir car il y a d'autres articles là-dessus (faire des liens). Michel421 parfaitement agnostique 13 juillet 2010 à 12:05 (CEST)
- Finalement, non, on n'a pas trop de substance en français sur la hiérarchie cumulative. On a des commentaires sur les PdD ici ou là mais pas d'article. Michel421 parfaitement agnostique 13 juillet 2010 à 12:46 (CEST)
- La hiérarchie cumulative se cache en tant que paragraphe de l'article Axiome de fondation.Michel421 parfaitement agnostique 13 juillet 2010 à 19:09 (CEST)
- J'ai modifié le §§ en question, n'hésite à repasser derrière. P.-e. un article séparé sur la hiérarchie cumulative est possible à partir de ce qu'il y a dans ax de fondation. --Epsilon0 ε0 15 juillet 2010 à 11:07 (CEST)
Ur etc. rep à εo[modifier le code]
Proz avait parlé des ur-elements, surtout par rapport à l'arithmétique du second ordre. εo avait enlevé cette mention, et donc on ne voyait plus le lien avec la phrase suivante "Pour prendre un exemple très simple,.... " etc. - voir le commentaire de modif. J'ai donc réintroduit ce passage - en voyant l'arithmétique du second ordre comme une théorie faible des ensembles, on a des ensembles d'entiers, et ces entiers ne sont évidemment pas des ensembles. Michel421 parfaitement agnostique 20 juillet 2010 à 19:25 (CEST)