Correspondance de Galois

En mathématiques, une correspondance de Galois antitone est une généralisation, pour deux ordres partiels quelconques, de la correspondance entre sous-corps d'une extension galoisienne et sous-groupes de son groupe de Galois. Une correspondance de Galois isotone se définit de façon analogue, en inversant l'ordre sur le deuxième ensemble. Cette notion est reliée à celle d'opérateur de clôture.

Correspondance antitone

Soient $m_{1}:P\to Q$ et $m_{2}:Q\to P$ des fonctions définies sur deux ensembles ordonnés $(P,\leq _{P})$ et $(Q,\leq _{Q})$. On vérifie facilement l'équivalence des deux définitions suivantes.

Première définition : $(m_{1},m_{2})$ est une correspondance de Galois antitone si $m_{1}$ et $m_{2}$ sont décroissantes et si $m_{2}\circ m_{1}$ et $m_{1}\circ m_{2}$ sont extensives, c.-à-d. vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

$p\leq _{P}m_{2}(m_{1}(p))\qquad {\text{et}}\qquad q\leq _{Q}m_{1}(m_{2}(q))~.$

Deuxième définition : $(m_{1},m_{2})$ est une correspondance de Galois antitone si $m_{1}$ et $m_{2}$ vérifient (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

$q\leq _{Q}m_{1}(p)\Leftrightarrow p\leq _{P}m_{2}(q)~.$

Correspondance isotone

Avec les mêmes notations que précédemment, une correspondance isotone de $(P,\leq _{P})$ vers $(Q,\leq _{Q})$ est, au sens de variation de $m_{1}$ et $m_{2}$ près (elles sont maintenant supposées croissantes), une correspondance antitone entre $(P,\leq _{P})$ et l'ensemble ordonné $(Q,\leq _{Q}^{op})$, où $\leq _{Q}^{op}$ désigne l'ordre opposé (ou « ordre dual ») de $\leq _{Q}$. Autrement dit :

Première définition : $(m_{1},m_{2})$ est une correspondance de Galois isotone si $m_{1}$ et $m_{2}$ sont croissantes et si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

$p\leq _{P}m_{2}(m_{1}(p))\qquad {\text{et}}\qquad m_{1}(m_{2}(q))\leq _{Q}q~.$

Deuxième définition : $(m_{1},m_{2})$ est une correspondance de Galois isotone si (pour tout élément p de P et tout élément q de Q) :

$m_{1}(p)\leq _{Q}q\Leftrightarrow p\leq _{P}m_{2}(q)~.$

Propriétés

Soit $(m_{1},m_{2})$ une correspondance de Galois comme ci-dessus (antitone ou isotone).

• $m_{2}\circ m_{1}$ et $m_{1}\circ m_{2}$ sont croissantes.
• $m_{2}\circ m_{1}\circ m_{2}=m_{2}$ (et $m_{1}\circ m_{2}\circ m_{1}=m_{1}$), si bien que $m_{2}\circ m_{1}$ et $m_{1}\circ m_{2}$ sont idempotentes.
• $m_{2}\circ m_{1}$ est un opérateur de clôture sur $(P,\leq _{P})$ (puisqu'elle est de plus extensive).
• Dans le cas antitone, $m_{1}\circ m_{2}$ est de même un opérateur de clôture sur $(Q,\leq _{Q})$.
• Réciproquement, tout opérateur de clôture c sur un ensemble ordonné $(P,\leq _{P})$ est de la forme $m_{2}\circ m_{1}$ pour une certaine correspondance de Galois, en choisissant par exemple pour Q l'image de c (muni de l'ordre induit ou de son opposé, selon qu'on souhaite construire une correspondance isotone ou antitone), pour $m_{1}$ la corestriction de c à Q, et pour $m_{2}$ l'injection canonique de Q dans P.

Voir aussi

• Treillis de Galois