Conjugué isotomique

En géométrie, le conjugué isotomique d’un point P par rapport à un triangle ABC est un autre point défini par rapport à P et ABC.

Construction

On considère un point P et un triangle ABC. Les droites (PA), (PB) et (PC) touchent les côtés BC, AC et AB respectivement aux points A', B' et C'. On construit les points A'', B'' et C'', symétriques respectifs de A' par rapport au milieu de BC, B' par rapport au milieu de AC, et C' par rapport au milieu de AB. Les droites (AA''), (BB'') et (CC'') sont concourantes (c'est le théorème de Ceva) en un point qui est le conjugué isotomique de P par rapport au triangle ABC.

Existence du conjugué isotomique

Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes. D'après le théorème de Ceva :

${\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}=1$.

Or, comme A'', B'' et C'' sont les symétriques de A', B' et C' par rapport aux milieux des côtés, on obtient :

$AC'=BC'';C'B=C''A;BA'=CA'';A'C=A''B;CB'=AB'';B'A=B''C$

En remplaçant les anciennes valeurs par les nouvelles dans la relation ci-dessus :

${\frac {BC''}{C''A}}\cdot {\frac {CA''}{A''B}}\cdot {\frac {AB''}{B''C}}=1$.

D'après la réciproque du théorème de Ceva, (AA''), (BB'') et (CC'') sont bien concourantes.

Coordonnées

Si les coordonnées trilinéaires de P sont p : q : r, alors celles de son conjugué isotomique sont a⁻²p⁻¹ : b⁻²q⁻¹ : c⁻²r⁻¹,

Si les coordonnées barycentriques de P sont p : q : r, alors celles de son conjugué isotomique sont 1/p: 1/q: 1/r, ou, de façon équivalente (en multipliant les coefficients par pqr) qr : pr : pq.

Propriétés

• Le conjugué isotomique du centre de gravité est lui-même.
• Le conjugué isotomique du point de Lemoine (point de concours des symédianes d'un triangle) est le troisième point de Brocard.
• Le conjugué isotomique du point de Gergonne est le point de Nagel.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Isotomic conjuguate » (voir la liste des auteurs).