Conjecture de Scholz

En mathématiques, la conjecture de Scholz, parfois appelée conjecture de Scholz-Brauer ou conjecture de Brauer-Scholz, fut proposée en 1937. Elle prétend que

$l\left(2^{n}-1\right)\leq n-1+l\left(n\right)$

où l(n) est la longueur de la plus courte chaîne d'additions qui produit n, c'est-à-dire le plus petit entier m pour lequel il existe une suite $(v_{0},\ldots ,v_{m})$ telle que $v_{0}=1$, $v_{m}=n$, et chaque $v_{i}$ est de la forme $v_{j}+v_{k}$ avec $j,k<i$.

Elle a été démontrée dans de nombreux cas, mais pas dans le cas général.

Par exemple pour n = 5 on a égalité, car l(5)=3 (puisque 1+1=2, 2+2=4, 4+1=5 et il n'existe pas de chaîne plus courte), l(31)=7 (1+1=2, 2+1=3, 3+3=6, 6+6=12, 12+12=24, 24+6=30, 30+1=31), et

$l\left(2^{5}-1\right)=5-1+l\left(5\right)$.

Des considérations élémentaires sur la nature des chaînes d'additions et le codage binaire permettent d'établir l'inégalité suivante, plus faible (en) :

$l\left(2^{n}-1\right)\leq 2(n-1)$,

mais une preuve qui permettrait de remplacer par $l(n)$ l'un des deux « $n-1$ » du majorant n'a pas encore été trouvée.

Liens externes

• (en) Shortest Addition Chains par Achim Flammenkamp, à l'université de Bielefeld
• (en) Suite  A003313 de l'OEIS

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Scholz conjecture » (voir la liste des auteurs).
• (de) Arnold Scholz, « Aufgabe 252 », Jahresber. Deutsche Math. Vereinigung, vol. 47 « Aufgaben und Lösungen »,‎ 1937, p. 41-42 (lire en ligne)
• (en) Alfred Brauer, « On addition chains », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 45,‎ 1939, p. 736-739 (lire en ligne)