Conjecture de Scholz

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En mathématiques, la conjecture de Scholz, parfois appelée conjecture de Scholz-Brauer ou conjecture de Brauer-Scholz, fut proposée en 1937. Elle prétend que

l \left( 2^n - 1 \right) \le n - 1 + l \left( n \right)

l(n) est la longueur de la plus courte chaîne d'additions (en) qui produit n, c'est-à-dire le plus petit entier m pour lequel il existe une suite (v_0,\ldots,v_m) telle que v_0=1, v_m=n, et chaque v_i est de la forme v_j+v_k avec j,k<i.

Elle a été démontrée dans de nombreux cas, mais pas dans le cas général.

Par exemple pour n = 5 on a égalité, car l(5)=3 (puisque 1+1=2, 2+2=4, 4+1=5 et il n'existe pas de chaîne plus courte), l(31)=7 (1+1=2, 2+1=3, 3+3=6, 6+6=12, 12+12=24, 24+6=30, 30+1=31), et

l \left( 2^5 - 1 \right) = 5 - 1 + l \left( 5 \right).

Des considérations élémentaires sur la nature des chaînes d'additions et le codage binaire permettent d'établir l'inégalité suivante, plus faible (en) :

 l \left( 2^n - 1 \right) \le 2 (n - 1),

mais une preuve qui permettrait de remplacer par l(n) l'un des deux « n-1 » du majorant n'a pas encore été trouvée.

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