Coefficient de restitution

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En dynamique, le coefficient de restitution est un coefficient physique qui intervient lors de l'étude d'une collision. Son introduction dans l'étude des chocs de solides réels dans l'air a été suggérée pour la première fois par Isaac Newton en 1687, et c'est pourquoi il est parfois appelé « coefficient de Newton »[1]. Il dépend des caractéristiques physiques des matériaux dont sont faits les corps qui entrent en collision.

Établissement du coefficient[modifier | modifier le code]

Le coefficient peut prendre des valeurs entre 0 et 1. Un coefficient de restitution supérieur à 1 est théoriquement impossible, et représente une collision qui génère de l'énergie cinétique. Un coefficient de restitution négatif est aussi théoriquement impossible : les deux particules en interaction se « traverseraient » lors du choc.

La valeur du coefficient de restitution e s'obtient par rapport entre la vitesse restituée V_r et la vitesse initiale V_i :

e=\frac{V_r}{V_i}

On montre aisément que la racine du rapport entre la hauteur d'un rebond h_n et la hauteur du rebond précédent h_{n-1} donne le même résultat.

e=\sqrt{\frac{h_{n}}{h_{n-1}}}

Collision dans une dimension[modifier | modifier le code]

Si v est la vitesse finale du système, u la vitesse initiale du système et e le coefficient de restitution, on a simplement v=-eu .

Quelques valeurs[modifier | modifier le code]

Les premières valeurs ci-après sont données dans la plupart des mémentos[2], mais on peut vérifier qu'elles ne sont pas différentes de celles données par Isaac Newton dans les Principia[3]. Ces deux livres donnent pour l'acier un coefficient de 5/9 qui est manifestement trop faible. Dans la Dynamique Appliquée de L. Lecornu, le coefficient de restitution obtenu par percussion de deux billes d'acier est celui indiqué ci-dessous[4].

Solide 1 Solide 2 e
bois bois 1/2
liège liège 5/9
ivoire ivoire 8/9
verre verre 15/16
acier acier 19/20

Collision élastique[modifier | modifier le code]

Si la collision est élastique, {e=1}, et donc {v=-u}. L'énergie cinétique est conservée.

Exemple  :

Un corps A de masse M_\text{A} avançant rectilignement à une vitesse u, percute un corps B de masse M_\text{B} au repos. La collision est élastique, donc e=1. Soit v_\text{A}, et v_\text{B} les vitesses des corps A et B après la collision.

D'après la loi de la conservation de la quantité de mouvement :

{uM_\text{A}=M_\text{A}v_\text{A}+M_\text{B}v_\text{B}}

On applique le coefficient de restitution (et des vitesses relatives) :

v_\text{A}-v_\text{B}=-1\times u

On obtient alors les relations :

 {v_\text{A}=u\frac{M_\text{A}-M_\text{B}}{M_\text{A}+M_\text{B}}}
 {v_\text{B}=2u\frac{M_\text{A}}{M_\text{A}+M_\text{B}}}

On voit donc que la particule initialement en déplacement ne s'arrêtera (donc aura communiqué l'intégralité de son énergie cinétique à la particule initialement au repos) que si M_\text{A}=M_\text{B}.

Une collision parfaitement élastique ne s'observe jamais au niveau macroscopique. On considère cependant parfois que la collision est élastique quand son coefficient de restitution est très proche de 1. Plus particulièrement, ce sont des matériaux durs qui ne perdent pas d'énergie sous forme de déformation, l'exemple typique étant une collision entre deux billes de billard.

Application : rebonds d'un corps[modifier | modifier le code]

On lâche un corps verticalement, il va donc rebondir, et l'on peut quantifier les grandeurs physiques intervenant dans les rebonds grâce au coefficient de restitution mis en jeu.

Hauteur maximum {h_{n}} après n rebonds : {h_{n}=e^{2n}h_{0}}h_{0} est la hauteur initiale (avant de lâcher le corps).

Temps {t_{n}} après le n rebond et avant le rebond n+1 : {t_{n}=e^{n}\sqrt{\frac{8h_{0}}{g}}}

À l'aide de la dernière relation, le temps total de rebondissement est :

{T=t_{0}+\sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}} \sum^{\infty}_{i=1}e^{i}}

Par une suite géométrique, on trouve finalement :

{T=t_{0}+\left(\dfrac{e}{1-e}\right) \times \sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}} }

avec t_{0} temps avant le premier rebond.

Remarque : Le nombre de rebonds est infini mais T est fini.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cf. L. Lecornu, Dynamique Appliquée, p. 227.
  2. par exemple ceux de De Laharpe (vol. 1, p. 211) et H. Küchling (table 8, p. 584).
  3. Référence :Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Isaac Newton), Lois du Mouvement, scholie du corollaire VI. Newton donne aussi le coefficient de restitution de « deux pelotes de laines très serrées ».
  4. chap. 7, §110 Choc direct de deux sphères, p.230.
  • Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
  • Léon Lecornu, Dynamique Appliquée (1908), éd. Octave Doin, Paris
  • De Laharpe, Notes et formules de l'ingénieur (20e édition, 1920), éd. Albin Michel, Paris
  • Horst Küchling, Taschenbuch der Physik (7e éd. 1985), éd. Harri Deutsch Verlag, Francfort

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]