Équation de Gross-Pitaevskii

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L' équation de Gross–Pitaevskii est l'équation qui régit l'état et la dynamique d'un gaz de bosons ultra-froids (condensat de Bose-Einstein) sous l'approximation d'Hartree. Sa forme indépendante du temps s'écrit :

 \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{ext}(\mathbf{r})  + Ng\vert\Phi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Phi(\mathbf{r}) = \mu\Phi(\mathbf{r}) ,

\Phi est la fonction d'onde à une particule, m la masse d'une particule, \hbar la constante de Planck réduite, \mu le potentiel chimique, et g une constante dépendante de la longueur de diffusion du potentiel d'interaction.

Obtention de l'équation de Gross-Pitaevskii[modifier | modifier le code]

On considère un gaz dilué de N bosons ultra-froids dans un potentiel de confinement V_{ext}, interagissant entre eux via un potentiel ne dépendant que de la distance entre 2 bosons V_{int}(\vert\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\vert). Le Hamiltonien de ce système est donc :


H=\sum_{i=1}^N \left({{\mathbf{p}_i}^{2}\over 2m}+V_{ext}(\mathbf{r}_i)\right)
+{1\over2}\sum_{i\neq j}^N V_{int}(\vert\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\vert)
.

Dans l’approximation de Hartree, la fonction d’onde totale \Phi du système est considérée comme étant le produit des fonctions d’onde à une particule \Phi :


\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N)=\Phi(\mathbf{r}_1)\Phi(\mathbf{r}_2)\dots\Phi(\mathbf{r}_N)
.

Une telle forme pour la fonction d'onde totale \Phi signifie que les bosons sont tous dans le même état, ce qui est raisonnable à ultra-basse température. De plus, cette fonction d'onde reste inchangée par permutation de 2 particules, ce qui correspond bien à un système bosonique.

Puisque le gaz est dilué, la distance moyenne entre atomes est beaucoup plus grande que la distance caractéristique d’interaction. On considère alors que :


V_{int}(\vert\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\vert) \approx g\delta(\vert\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\vert)
,

\delta est la fonction de Dirac. La théorie de la diffusion nous donne la valeur de la constante de normalisation g={4\pi\hbar^2a\over m}a est la longueur de diffusion à énergie nulle de la collision élastique en onde s entre deux bosons.

On peut montrer[1] que si la fonction d’onde à une particule \Phi satisfait l'équation de Gross-Pitaevskii, alors la fonction d’onde totale \Psi minimise l’énergie du Hamiltonien H sous la contrainte de normalisation \int\vert\Psi\vert^2dV=1.

Remarques sur l'équation de Gross-Pitaevskii[modifier | modifier le code]

  • Il est remarquable que cette équation corresponde à l'équation de Schrödinger du gaz parfait à laquelle on ajoute un terme non-linéaire. L'équation de Gross Pitaevskii est d'ailleurs souvent appelée équation de Schrödinger non linéaire par les mathématiciens.
  • Le choix de la condition de normalisation est essentiel pour l'obtention de l'équation de Gross-Pitaevskii. Cependant, en changeant cette normalisation, on change l'équation. Elle devient par exemple  \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{ext}(\mathbf{r})  + g\vert\Phi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Phi(\mathbf{r}) = \mu\Phi(\mathbf{r}) si on choisit \int\vert\Psi\vert^2dV=N. Malgré les apparences, ceci n'est qu'un artifice mathématique, et ne change rien à la physique sous-jacente.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) C. J. Pethick et H. Smith, Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge, Cambridge University Press,‎ 2002 (ISBN 978-0-521-66580-3)