Hyperopération

En mathématiques, les hyperopérations constituent une suite infinie d'opérations qui prolonge logiquement la suite des opérations arithmétiques élémentaires : addition, multiplication et exponentiation.

En termes simples et partant du constat suivant :

1. addition

   ${{a+b} \atop \,}{= \atop \,}{a\,+ \atop \,}{{\underbrace {1+1+\cdots +1} } \atop b{\text{ termes}}}$

2. multiplication

   ${{a\times b=\ } \atop {\ }}{{\underbrace {a+a+\cdots +a} } \atop b{\text{ termes}}}$

3. exponentiation

   ${{a^{b}=\ } \atop {\ }}{{\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} } \atop b{\text{ facteurs}}}$

Les hyperopérateurs visent à répondre à la question intuitive suivante "Qu'y a-t-il au delà de l'exponentiation ?".

On montre qu'on peut créer des opérations de rang supérieur à l'exponentiation en les construisant de manière itérative d'après la précédente, et en utilisant l'égalité suivante, (exprimée dans la notation des flèches de Knuth): $\scriptstyle {a\uparrow ^{n}b=a\uparrow ^{n-1}\left(a\uparrow ^{n}(b-1)\right)}$. Chacune croit plus vite que la précédente.

Reuben Goodstein proposa de baptiser les opérations au delà de l'exponentiation par "tétration", "pentation" etc.. .

Des suites similaires ont historiquement porté diverses appellations, telles que fonction d'Ackermann, la Hiérarchie d'Ackermann, la hiérarchie de Grzegorczyk (plus générale), la version de Goodstein de la fonction d'Ackermann,, hyper-n..

Definition

La suite d'hyperopérateurs est la suite d'opérations binaires $H_{n}:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} \,\!$ indexée par $n\in \mathbb {N}$, définie récursivement comme suit:

$H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&{\text{si }}n=0\\a&{\text{si }}n=1,b=0\\0&{\text{si }}n=2,b=0\\1&{\text{si }}n\geq 3,b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{sinon}}\end{cases}}\,\!$

(Remarque: pour n = 0, on peut ignorer le premier argument)

Pour n = 0, 1, 2, 3, cette définition reproduit les opérations arithmétiques élémentaires. Par convention, les opérations arithmétiques élémentaires sont également à considérer comme des hyperopérateurs.

Pour n ≥ 4, cette suite se poursuit par des nouvelles opérations.

Voici la liste des 7 premières hyperopérations :

n	$H_{n}$	Operation	Definition	Noms	Domaines de validité
0	$H_{0}(a,b)$	$b+1$	${1+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{b}}}$	successeur, "zération"	b réel
1	$H_{1}(a,b)$	$a+b$	${a+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{b}}}$	addition	a et b réels
2	$H_{2}(a,b)$	$a\cdot b$	${{\underbrace {a+a+a+\cdots +a} } \atop {b}}$	multiplication	a et b réels
3	$H_{3}(a,b)$	$a\uparrow b=a^{b}$	${{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} } \atop {b}}$	exponentiation	a > 0, b réel, ou a non nul, b un entier an integer. Extensions dans l'ensemble des nombres complexes.
4	$H_{4}(a,b)$	$a\uparrow \uparrow b$	${{\underbrace {a\uparrow a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} } \atop {b}}$	tetration	a > 0, b entier ≥ −1 (extensions proposées)
5	$H_{5}(a,b)$	$a\uparrow \uparrow \uparrow b$ ou $a\uparrow ^{3}b$	${{\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a} } \atop {b}}$	pentation	a et b entiers, a > 0, b ≥ 0
6	$H_{6}(a,b)$	$a\uparrow ^{4}b$	${{\underbrace {a\uparrow ^{3}a\uparrow ^{3}\cdots \uparrow ^{3}a} } \atop {b}}$	hexation	a et b entiers, a > 0, b ≥ 0

Historique

Une des premières discussions autour des hyperopérateurs fut celle d'Albert Bennet en 1914, qui développa la théorie des hypéropérations commutatives.

12 ans plus tard, Wilhelm Ackermann définit la fonction $\phi (a,b,n)\,\!$ qui s'approche de la séquence d'hyperopérateurs.

Dans son article de 1947, Reuben Goodstein introduit la suite d'opérations maintenant appelée hyperopérations et suggéra les noms de tetration, pentation etc..., pour les opérations au delà de l'exponentiation (car ils correspondent aux indices 4, 5 etc.. de la suite). C'est une fonction à trois arguments: $G(n,a,b)=H_{n}(a,b)\,\!$, la suite des hyperopérations peut être rapprochée de la fonction d'Ackermann $\phi (a,b,n)\,\!$. La fonction d'Ackermann originelle $\phi \,\!$ utilise la même règle récursive que Goodstein mais diffère d'elle de deux manières : Tout d'abord $\phi (a,b,n)\,\!$ définit une suite d'opérations partant de l'addition (n = 0) plutôt que de la succession. Ensuite, les conditions initiales pour $\phi \,\!$ sont $\phi (a,b,3)=a\uparrow \uparrow (b+1)\,\!$, différant en cela des hyperopérations au delà de l'exponentiation. La signification du b + 1 dans l'expression qui précède vient que $\phi (a,b,3)\,\!$ = $a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}\,\!$, où b compte le nombre d'opérateurs plutôt que ne nombre d'opérandes a, comme le fait b dans $a\uparrow \uparrow b\,\!$, etc pour les opérations de niveau supérieur. (voir la fonction d'Ackermann pour davantage de détails.)

Notations

De nombreuses notations ont été développées et sont applicables aux hyperopérateurs.

Nom	Notation équivalente à $H_{n}(a,b)\,\!$	Commentaire
Notation des flèches de Knuth	$a\uparrow ^{n-2}b\,\!$	Utilisée par Knuth (pour n ≥ 2), et rencontrée dans divers ouvrages.
Notation de Goodstein	$G(n,a,b)\,\!$	Utilisée par Reuben Goodstein.
Fonction d'Ackermann originelle	${\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ pour }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ pour }}n>3\end{matrix}}\,\!$	Utilisée par Wilhelm_Ackermann.
Fonction d'Ackermann–Péter	$A(n,b-3)+3\ {\text{pour }}a=2\,\!$	Ceci correspond aux hyperopérations en base 2.
Notation de Nambiar	$a\otimes ^{n}b\,\!$	Utilisée par Nambiar
Notation boîte	$a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b\,\!$	Utilisée par Rubtsov et Romerio.
Notation exposant	$a{}^{(n)}b\,\!$	Utilisée par Robert Munafo.
Notation crochets	$a[n]b\,\!$	Utilisée sur des forums, pour des raisons de simplicité.

Voir aussi

• Fonction d'Ackermann