Tétration

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La tétration (ou encore nappe exponentielle, hyperpuissance, tour de puissance, super-exponentiation ou hyper4) est une « exponentiation itérative », le premier hyperopérateur après l'exponentiation.

Le mot-valise tétration a été forgé par Reuben Goodstein sur la base du préfixe tétra- (quatre) et itération. La tétration est utilisée pour l'écriture des grands nombres. Elle suit l'addition, la multiplication et l'exponentiation comme indiqué ci-après :

  1. addition
     {{a + b} \atop \,}  {= \atop \,}  {a  \, + \atop \, }  {{\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}} \atop b \text{ termes}}
  2. multiplication
    {{a \times b = \ } \atop {\ }} {{\underbrace{a + a + \cdots + a}} \atop b\text{ termes}}
  3. exponentiation
    {{a^b = \ } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}} \atop b\text{ facteurs}}
  4. tétration
    {\ ^{b}a = \ \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop b\text{ exposants}}

chaque opération étant définie par itération à partir de la précédente.

L'addition (a+b) peut être définie comme b itérations de l'opération ajouter 1 appliquée à a, la multiplication (a.b) comme b itérations de l'opération ajouter a appliquée à a, et l'exponentiation (ab) comme b itérations de l'opération multiplier par a appliquée à a. De manière analogue, la tétration (ba) peut être considérée comme b itérations de l'opération porter à la puissance a appliquée à a.

On remarquera que lorsque l'on évalue une exponentiation à niveaux multiples, l'exponentiation est effectuée à un niveau le plus « profond » en premier lieu (en notation, au niveau le plus élevé). En d'autres termes :

\,\!\ ^{4}2 = 2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65536
\,\!2^{2^{2^2}} n'est pas égal à \,\! \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 2^{2\times2\times2} = 256.

Ceci est la règle générale pour l'ordre des opérations impliquant une exponentiation répétée.

Notation[modifier | modifier le code]

Afin de généraliser le premier cas au-dessus (tétration), une nouvelle notation est nécessaire (voir ci-dessous); cependant, le second cas peut-être également écrit :

\,\! \left(\left(2^2\right)^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot 2} = 2^{2^3}

Donc, sa forme générale utilise toujours une notation d'exponentiation ordinaire.

Les notations dans lesquelles une tétration peut être notée (parmi celles permettant même des niveaux d'itérations plus élevés) incluent :

  • la notation standard : ba, utilisée en premier lieu par Hans Maurer; cette notation a été popularisée par le livre de Rudy Rucker, Infinity and the Mind.
  • la notation des puissances itérées de Knuth : a \uparrow\uparrow b — peut être étendue en utilisant plus de flèches (ou de manière équivalente, une flèche indexée).
  • la notation des flèches chaînées de Conway : a \rightarrow b \rightarrow 2 — peut être étendue en augmentant le nombre 2 (équivalentes avec les extensions au-dessus), mais aussi, de manière plus performante, en étendant la chaîne.
  • la notation hyper4 : a^{(4)}b = \operatorname{hyper4}(a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) — peut-être étendue en augmentant le nombre 4; cela donne la famille des hyper opérateurs.

Pour la fonction d'Ackermann, nous avons : 2 \uparrow\uparrow b = \operatorname{A}(4, b - 3) + 3, i.e. \operatorname{A}(4, n) = 2 \uparrow\uparrow (n+3) - 3.

La flèche vers le haut est utilisée de manière identique au signe d'omission, ce qui fait que l'opérateur tétration peut être écrit comme ^^ en ASCII : a^^b.

Exemples[modifier | modifier le code]

(Les exemples avec virgules sont approchés)

n = n↑↑1 n↑↑2 n↑↑3 n↑↑4
1 1 1 1
2 4 16 65 536
3 27 7,63×1012 10^{3,64 \times 10^{12}}
4 256 1,34×10154 10^{8,07 \times 10^{153}}
5 3 125 1,91×102 184 10^{1,34 \times 10^{2 184}}
6 46 656 2,70×1036 305 10^{2,07 \times 10^{36 305}}
7 823 543 3,76×10695 974 10^{3,18 \times 10^{695 974}}
8 16 777 216 6,01×1015 151 335 10^{5,43 \times 10^{15 151 335}}
9 387 420 489 4,28×10369 693 099 10^{4,09 \times 10^{369 693 009}}
10 10 000 000 000 1010 000 000 000 10^{10^{10^{10}}}

Extension aux valeurs faibles du second opérande[modifier | modifier le code]

En utilisant la relation n \uparrow\uparrow k = \log_n \left(n \uparrow\uparrow (k+1)\right) (déduite de la définition de la tétration), on peut dériver (ou définir) les valeurs pour n \uparrow\uparrow k pour k \in \{-1, 0, 1\}.


\begin{matrix}
  n \uparrow\uparrow 1
    & = &
  \log_n \left(n \uparrow\uparrow 2\right)
    & = &
  \log_{n} \left(n^n\right)
    & = & 
  n \log_{n} n 
    & = & 
  n
\\
  n \uparrow\uparrow 0
    & = &
  \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 1\right)
    & = & 
  \log_{n} n
    & & & = &
  1
\\
  n \uparrow\uparrow -1
    & = &
  \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 0\right)
    & = &
  \log_{n} 1
    & & & = & 
  0
\end{matrix}

Cela confirme la définition intuitive de n \uparrow\uparrow 1 comme étant simplement n. Cependant, on ne peut plus définir plus de valeurs par itération supplémentaire de cette manière, puisque \log_n 0 est indéfini.

De la même manière, puisque \log_{1} 1 est aussi indéfini (\log_{1} 1 = \begin{matrix}\frac{\log_n 1}{\log_n 1} = \frac{0}{0}\end{matrix}), la dérivation au-dessus ne peut être produite lorsque n = 1. Ainsi, 1 \uparrow\uparrow {-1} doit rester une quantité non définie, bien que 1 \uparrow\uparrow {0} puisse être défini sans problème comme étant égal à 1.

Parfois, 0^0 est considéré comme quantité indéfinie. Dans ce cas, les valeurs pour 0\uparrow\uparrow{k} ne peuvent être définie directement. Cependant, \lim_{n\rightarrow0} n\uparrow\uparrow{k} est bien défini, et existe :

\lim_{n\rightarrow0} n\uparrow\uparrow k = \begin{cases} 1, & k \mbox{ pair} \\ 0, & k \mbox{ impair} \end{cases}

Cette limite est également valable pour n négatif. 0 \uparrow\uparrow {k} pourrait être définie en termes de cette limite et devrait être en accord avec la définition de 0^0 = 1 (si 0 est considéré comme pair).

Tétration complexe[modifier | modifier le code]

Puisqu'un nombre complexe peut être élevé à la puissance, la tétration peut être appliquée aux nombres de la forme a + bi, dans lesquels i est la racine carrée de -1. Ainsi par exemple, n \uparrow\uparrow k dans lequel n=i, la tétration est effectuée en utilisant la branche principale du logarithme naturel, et on a la relation :


i^{a+bi} = e^{{i\pi \over 2} (a+bi)} = e^{-{b\pi \over 2}} \left(\cos{a\pi \over 2} + i \sin{a\pi \over 2}\right)

Ce qui suggère une définition récursive pour i \uparrow\uparrow (k+1) = a'+b'i pour tout i \uparrow\uparrow k = a+bi:

a' = e^{-{b\pi \over 2}} \cos{a\pi \over 2}
b' = e^{-{b\pi \over 2}} \sin{a\pi \over 2}

Les valeurs approximées suivantes peuvent en être déduites, pour lesquelles i \uparrow n est l'exponentiation ordinaire (i.e. i ^ n).

  • i \uparrow\uparrow 1 = i
  • i \uparrow\uparrow 2 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 1\right) \approx 0,2079
  • i \uparrow\uparrow 3 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 2\right) \approx 0,9472 + 0,3208i
  • i \uparrow\uparrow 4 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 3\right) \approx 0,0501 + 0,6021i
  • i \uparrow\uparrow 5 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 4\right) \approx 0,3872 + 0,0305i
  • i \uparrow\uparrow 6 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 5\right) \approx 0,7823 + 0,5446i
  • i \uparrow\uparrow 7 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 6\right) \approx 0,1426 + 0,4005i
  • i \uparrow\uparrow 8 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 7\right) \approx 0,5198 + 0,1184i
  • i \uparrow\uparrow 9 = i \uparrow\left(i \uparrow\uparrow 8\right) \approx 0,5686 + 0,6051i

La résolution de la relation conduit aux relations attendues i \uparrow\uparrow 0 = 1 et i \uparrow\uparrow -1 = 0, avec des valeurs négatives de k donnant des résultats infinis sur les axes imaginaires. Dans le plan complexe, la séquence entière converge en spirale vers la limite 0,4383 + 0,3606i, ce qui peut être interprété comme la valeur pour laquelle k est infini.

De telles séquences de tétration ont été étudiées depuis l'époque d'Euler mais sont très peu comprises en raison de leur comportement chaotique. Les recherches les plus publiées se sont historiquement concentrées sur la convergence de la fonction de tour de puissance. La recherche actuelle a grandement bénéficié du progrès de puissantes stations de calcul avec des supports logiciel en mathématiques symboliques et fractales. La plupart de ce qui est connu sur la tétration vient de la connaissance générale de la dynamique complexe et de la recherche spécifique sur les nappes exponentielles.

Extension aux nombres réels[modifier | modifier le code]

L'extension de x \uparrow\uparrow b aux nombres réels x > 0 est relativement simple et donne, pour chaque nombre naturel b, une fonction super-puissance \operatorname{f}(x) = x \uparrow\uparrow b (le préfixe super est parfois remplacé par hyper : fonction hyper-puissance).

Comme indiqué précédemment, pour les entiers positifs b, la fonction tend vers 1 pour x tendant vers 0 si b est pair, et vers 0 si b est impair, alors que pour b = 0 et b = -1, la fonction est constante, avec pour valeur 1 et 0, respectivement.

À ce jour, il n'existe pas de solution communément acceptée pour le problème général d'extension de la tétration aux nombres réels et complexes, bien que cela soit un champ de recherche actif.

Considérons le problème de trouver une fonction super-exponentielle ou une fonction hyper-exponentielle \operatorname{f}(x) = a \uparrow\uparrow x qui est une extension au réel x > -2 de ce qui est défini précédemment, et qui satisfait (pour a > 1) :

  • a \uparrow\uparrow(b+1) = a^{\left(a\uparrow \uparrow b\right)}.
  • une croissance monotone.
  • une condition de continuité.

Lorsque a \uparrow\uparrow x est définie comme un intervalle de longueur unitaire, la fonction dans son ensemble convient facilement pour tout x > -2.

Une solution simple est donnée par a \uparrow\uparrow x = x+1 pour -1<x<0, par conséquent a \uparrow\uparrow x = a^x pour 0<x<1, \,\!a \uparrow\uparrow x=a^{a^{(x-1)}} pour 1<x<2, etc.

Cependant, elle est différentiable par parties, à des valeurs entières de x, la dérivée est multipliée par \log_n{a}: 10 \uparrow\uparrow 0,99 = 9,77, 10 \uparrow\uparrow 1 = 10, 10 \uparrow\uparrow 1,01 = 10,55.

D'autres fonctions, plus compliquées, peuvent être plus douces et/ou satisfont des propriétés additionnelles.

Une fonction super-exponentielle croît plus vite qu'une fonction double exponentielle; par exemple, si a = 10:

Lorsque l'on définit a \uparrow\uparrow x pour tout a, une autre condition requise peut être que a \uparrow\uparrow x est croissante monotone avec a.

Ces fonctions inverses sont appelées super-racines ou hyper-racines, et super-logarithme ou hyper-logarithme \mathrm{slog}_a définie pour tous les nombres réels, y compris les nombres négatifs.

La fonction \mathrm{slog}_a satisfait à :

\mathrm{slog}_a a^b = 1 + \mathrm{slog}_a b
\mathrm{slog}_a b = 1 + \mathrm{slog}_a \log_a b
\mathrm{slog}_a b > -2

Exemples:

  • \mathrm{slog}_{10} -3 = -1 + \mathrm{slog}_{10} 0,001 = -1 + -0,999 = -1,999
  • \mathrm{slog}_{10} 3 = \log_{10} 3 = 0,477
  • \mathrm{slog}_{10} 10^{6\times 10^{23}} = 1 + \mathrm{slog}_{10} 6\times 10^{23} = 2 + \mathrm{slog}_{10} 23,778 = 3 + \mathrm{slog}_{10} 1,376 = 3 + \log_{10} 1,376 = 3,139

Tours de puissance infiniment hautes[modifier | modifier le code]

\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{..}}}}}} converge vers 2, et peut être en réalité définie comme étant égale à 2. La tendance vers 2 peut être perçue en évaluant une petite tour finie : \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1,41}}}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1,63}}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1,76}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1,84}} = \sqrt{2}^{1,89} = 1,93.

En général, la tour de puissance infinie x^{x^{x^{..}}} converge si et seulement si e^{-e} \le x \le e^{1/e}. Pour un réel quelconque r avec e^{-1} \le r \le e, puis x = r^{1/r}, alors la limite est r (démonstration[1]).

Cela peut être étendu aux nombres complexes z avec la définition :

 z^{z^{z^{.^{.^{.}}}}} = -\frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{\ln{z}}

\mathrm{W}(z) est la fonction W de Lambert.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]