|
|
Ligne 1 : |
Ligne 1 : |
|
La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article ''Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques.'' Rend. Circ. Math. Palermo '''27''', pp. 247-271, par Émile Borel, en vue, semble-t-il, d'applications aux propriétés des [[Fraction continue|fractions continues]]. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui conduit au [[lemme de Borel-Cantelli]], d'un usage courant en probabilités : un exemple phare est sûrement la démonstration, par [[Andreï Kolmogorov|Kolmogorov]], de la [[loi forte des grands nombres]]. |
|
La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article ''Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques''<ref>{{Article |
|
|
|langue=fr |
|
==Enoncé== |
|
|
|
|prénom1=Émile |
|
|
|nom1=Borel |
|
|
|lien auteur1= |
|
|
|titre=Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques |
|
|
|périodique=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo |
|
|
|mois=décembre |
|
|
|année=1909 |
|
|
|volume=27 |
|
|
|numéro=1 |
|
|
|pages=247-271 |
|
|
|issn=0009-725X |
|
|
|issn2=1973-4409 |
|
|
|doi=10.1007/BF03019651 |
|
|
|url texte=http://www.springerlink.com/content/d82573l5k1n11722/ |
|
|
}} |
|
|
</ref>, par [[Émile Borel]], en vue, semble-t-il, d'applications aux propriétés des [[Fraction continue|fractions continues]]. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui conduit au [[lemme de Borel-Cantelli]], d'un usage courant en probabilités : un exemple phare est sûrement la démonstration, par [[Andreï Kolmogorov|Kolmogorov]], de la [[loi forte des grands nombres]]. |
|
|
==Énoncé== |
|
Dans un [[espace probabilisé]] <math>\scriptstyle\ \left(\Omega, \mathcal A, \mathbb{P}\right),</math> considérons une suite <math>\scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0}</math> d'éléments de <math>\scriptstyle\ \mathcal{A}</math> (ou "évènements"). La [[loi du zéro-un de Borel]] stipule que : |
|
Dans un [[espace probabilisé]] <math>\scriptstyle\ \left(\Omega, \mathcal A, \mathbb{P}\right),</math> considérons une suite <math>\scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0}</math> d'éléments de <math>\scriptstyle\ \mathcal{A}</math> (ou "évènements"). La [[loi du zéro-un de Borel]] stipule que : |
|
|
|
|
La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques[1], par Émile Borel, en vue, semble-t-il, d'applications aux propriétés des fractions continues. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui conduit au lemme de Borel-Cantelli, d'un usage courant en probabilités : un exemple phare est sûrement la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres.
Énoncé
Dans un espace probabilisé considérons une suite d'éléments de (ou "évènements"). La loi du zéro-un de Borel stipule que :
Loi du zéro-un de Borel — Si les événements
sont
indépendants, alors
vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général
est convergente ou divergente.
Démonstration
- Si la série de terme général est convergente, alors, en vertu du lemme de Borel-Cantelli, on a C'est dans ce sens que l'hypothèse d'indépendance est superflue.
- Supposons que la série de terme général est divergente, et montrons que
ou, de manière équivalente, montrons que
On rappelle que
d'après les lois de De Morgan. Plus précisément,
où
est une suite croissante d'évènements. Ainsi
On conclut en montrant que . Posons
En vertu de l'indépendance des
En vertu de la décroissance en de
Or on a :
par convexité de l'exponentielle puis divergence de la série de terme général ce qui achève la démonstration.
Limite supérieure d'ensembles
En d'autres termes, on peut dire que si et seulement si l'ensemble est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout , on peut trouver tel que . Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :
Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que si et seulement si "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :
La définition " si et seulement si appartient à une infinité de " peut induire en erreur : si, par exemple, toutes les parties sont égales, il se peut que appartienne à pour une infinité d'indices , et il se peut donc que appartienne à sans pour autant qu' appartienne à une infinité de (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul ).
Voir aussi
Notes
Pages liées