Spectre de dommages par fatigue

Un Spectre de Dommages par Fatigue (SDF) représente la sévérité d'une vibration aléatoire en terme d'endommagement par fatigue. Il est obtenu en évaluant l'endommagement causé par la-dite vibration aléatoire sur un système oscillant à un degré de liberté (ou système 1DDL) en fonction de sa fréquence propre et pour un amortissement donné. Ce spectre est analogue au Spectre de Réponse Extrême (SRE) qui renseigne quant-à-lui sur la plus grande réponse en accélération du système 1DDL plutôt que sur l'endommagement.

Le SDF est particulièrement utilisé pour comparer la sévérité de vibrations, pour identifier les points faibles de structures mécaniques ou pour réaliser des spécifications d'essais vibratoires .

Construction d'un Spectre de Dommages par Fatigue

Un Spectre de Dommages par Fatigue peut se construire de de manières différentes, soit dans le domaine temporel (c'est-à-dire en en faisant appel à des fonctions du temps), soit dans le domaine fréquentiel. Ce dernier est souvent privilégié au domaine temporel car il permet des temps de calcul bien plus faibles. Il n'est néanmoins compatible qu'avec un certain type de vibrations tandis que la méthode temporelle est universelle.

Domaine fréquentiel

Pour construire un SDF dans le domaine fréquentiel, il est nécessaire que la vibration aléatoire étudiée réponde à deux exigences, qui sont d'être:

• Stationnaire: les propriétés statistiques de la vibration, telles que sa valeur moyenne, sa valeur efficace ou encore ses moments statistiques doivent être indépendant du temps. Dans le cas contraire, sa distribution fréquentielle dépendrait du temps et le SDF associé à la vibration ne serait valable qu'à un instant donné.
• Gaussienne: la distribution statistique des extrema de la vibration doivent suivre une loi gaussienne, c'est-à-dire une loi normale de valeur moyenne nulle. Cette hypothèse est nécessaire pour établir une loi statistique d'endommagement

Sous ces hypothèses, il est possible de calculer la Densité Spectrale de Puissance (DSP) de la vibration étudiée. C'est sous cette forme que la vibration sera analysée.

Réponse efficace d'un système 1DDL

Considérons un système oscillant à un degré de liberté. Dans le domaine fréquentiel, la réponse relative en déplacement de ce système est liée à l'accélération d'excitation par une fonction de transfert de module:

$|H(f)|={\dfrac {1}{4.\pi ^{2}.f_{0}^{2}}}.{\dfrac {1}{\sqrt {4.\xi ^{2}.(f/f_{0})^{2}+(1-f/f_{0})^{2}}}}$

Où f est la fréquence d'étude, f₀ la fréquence propre du système, et ξ son amortissement.

La Densité Spectrale de Puissance (DSP) de la réponse relative du système, notée Φ_r peut alors s'exprimer à partir de la fonction de transfert H et de la DSP d'excitation Φ_e , c'est-à-dire la vibration étudiée:

$\Phi _{r}=|H|^{2}.\Phi _{e}$

La valeur efficace z_eff de la DSP de réponse du système peut ensuite être estimée:

$z_{eff}={\sqrt {\int _{f_{min}}^{f_{max}}\Phi _{r}(f)\ \mathrm {d} f}}$

Calcul d'endommagement

Bien qu'il existe plusieurs formulations de l'endommagement, la plus utilisée pour la construction des SDF est la formulation dite d'approximation bande étroite:

$D=n_{0}^{+}.T.{\dfrac {K^{b}}{C}}.({\sqrt {2}}.z_{eff})^{b}.\Gamma {\big (}1+{\dfrac {b}{2}}{\big )}$

Avec T le temps de sollicitation, K le coefficient élastique déplacement / contrainte, b et C les paramètres de la loi de Basquin (respectivement l'exposant et la constante), Γ la fonction Gamma et n₀⁺ la fréquence de franchissement du zéro par pente positive, aussi appelé fréquence centrale.

L'utilisation de cette formulation ne peux néanmoins se faire que sous plusieurs hypothèses:

• Le système est linéaire, de constante élastique K;
• La loi d'endommagement suit la règle de cumul de Palmgren-Miner;
• La courbe d'endurance du matériau peut se modéliser par la loi de Basquin;
• La vibration est en bande-étroite.

La formulation bande étroite, aussi dite "de Rayleigh" du fait de l'utilisation de la loi de distribution éponyme, est celle utilisée par la norme AFNOR NF X50-144 pour exprimer les SDF. Elle présente en effet l'avantage principal d'être conservative quelle que soit la largeur de bande de la sollicitation étudiée. Cela signifie que l'endommagement calculé sera à minima égal sinon plus sévère que l'endommagement réel quel que soit la plage de fréquences de la vibration.

Pour réaliser un Spectre de Dommages par Fatigue, il suffit de calculer l'endommagement D pour différentes fréquences propres du système 1DDL.

Paramètres standardisés

Dans la majorité des cas, les SDF sont utilisés à des fins de comparaisons. Or, pour que la comparaison est un sens, les systèmes 1DDL utilisés pour leur élaboration doivent être identiques. L'AFNOR recommande ainsi des paramètres standardisés et un système 1DDL étalon dont les propriétés sont les suivantes:

• Les coefficients de proportionnalité K et C sont pris unitaires;
• L'exposant de la loi de Basquin est pris égal à 8 lorsque l'on considère des matériaux métalliques;
• L'amortissement ξ est pris égal à 5%;
• La durée d'application T est prise unitaire.