Classification de Langlands

En mathématiques, la classification de Langlands est une description des représentations irréductibles d'un groupe de Lie réductif G, proposée par Robert Langlands (1973). Il existe deux versions légèrement différentes de la classification de Langlands. L'une décrit les (g,K)-modules irréductibles admissibles, pour g l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie réductif G, de sous-groupe compact maximal K, en termes de représentations tempérées de groupes plus petits. Les représentations tempérées ont été à leur tour classées par Anthony Knapp et Gregg Zuckerman. L'autre version de la classification de Langlands regroupe les représentations irréductibles en L-paquets et classe les L-paquets en termes de certains homomorphismes du groupe de Weil de R ou C dans le groupe dual de Langlands.

Notations

• G est un groupe de Lie dans la classe de Harish-Chandra ;
• g est l'algèbre de Lie de G ;
• K est un sous-groupe compact maximal de G, avec pour algèbre de Lie k ;
• ω est une involution de Cartan de G qui fixe K ;
• p est l'espace propre de valeur propre −1 de l'involution de Cartan correspondante de g ;
• a est un sous-espace abélien maximal de p ;
• Σ est le système de racines de a dans g ;
• Δ est un ensemble de racines simples de Σ.

Classification

La classification de Langlands stipule que les représentations admissibles irréductibles de (g,K) sont paramétrées par des triplets

(F, σ, λ)

où

• F est un sous-ensemble de Δ ;
• Q est le sous-groupe parabolique standard de F, avec pour décomposition de Langlands Q = MAN ;
• σ est une représentation tempérée irréductible du groupe de Lie semi-simple M (définie à isomorphisme près) ;
• λ est un élément de Hom(a_F, C) tel que α(Re(λ)) > 0 pour toute racine simple α qui n'est pas dans F.

Plus précisément, la représentation admissible irréductible donnée par les données ci-dessus est l'unique quotient irréductible d'une représentation induite paraboliquement.

Pour un exemple de la classification de Langlands, voir la théorie des représentations de SL2(R) .

Variantes

Il existe plusieurs variantes mineures de la classification de Langlands. Par exemple :

• au lieu de prendre un quotient irréductible, on peut prendre un sous-module irréductible ;
• puisque les représentations tempérées sont elles-mêmes décrites comme certaines représentations induites à partir de séries discrètes ou de limites de représentations de séries discrètes, on peut faire les deux inductions à la fois et obtenir une classification de Langlands paramétrée par des séries discrètes ou des représentations limites de séries discrètes au lieu de représentations tempérées ; l'inconvénient de procéder de la sorte est qu'il est difficile de décider quand deux représentations irréductibles sont les mêmes.

Notes et références

• Jeffrey Adams, Dan Barbasch et David A. Vogan, The Langlands classification and irreducible characters for real reductive groups, vol. 104, Boston, MA, Birkhäuser Boston, coll. « Progress in Mathematics », 1992 (ISBN 978-0-8176-3634-0, MR 1162533, lire en ligne)
• {{Chapitre|prénom1= Eric P.|nom1=van den Ban|titre chapitre=Induced representations and the Langlands classification|isbn=0-8218-0609-2|auteurs ouvrage=T. Bailey et A. W. Knapp, éd.|titre ouvrage=Representation Theory and Automorphic Forms|collection=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics|éditeur=[[American Mathematical Society|année=1997|lire en ligne=https://dspace.library.uu.nl/bitstream/handle/1874/1625/edinb.pdf?sequence=2&isAllowed=y%7Cpassage=123-155}}
• Armand Borel et Nolan Wallach, Continuous cohomology, discrete subgroups, and representations of reductive groups, vol. 67, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys and Monographs », 2000, 2^e éd., xviii+260 (ISBN 0-8218-0851-6)
• Robert P. Langlands, « On the classification of irreducible representations of real algebraic groups », dans Paul J. Sally, David A. Vogan, Representation theory and harmonic analysis on semisimple Lie groups, vol. 31, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Math. Surveys Monogr. », 1989 (ISBN 978-0-8218-1526-7, MR 1011897, lire en ligne), p. 101-170
• David A. Vogan, « A Langlands classification for unitary representations », dans Toshiyuki Kobayashi, Masaki Kashiwara, Toshihiko Matsuki, Kyo Nishiyama, Toshio Oshima, Analysis on homogeneous spaces and representation theory of Lie groups, Okayama–Kyoto (1997), vol. 26, Tokyo, Math. Soc. Japan, coll. « Adv. Stud. Pure Math. », 2000 (ISBN 978-4-314-10138-7, MR 1770725, lire en ligne), p. 299-324
• David A. Vogan, Representations of real reductive Lie groups, Springer, coll. « Progress in Mathematics », 1981, 754 p. (ISBN 3-7643-3037-6, MR 632407)