Théorie d'Auslander-Reiten

En algèbre, la théorie d'Auslander-Reiten étudie la théorie des représentations des anneaux artiniens à l'aide de techniques telles que les suites d'Auslander-Reiten (également appelées suites presque scindées) et les carquois d'Auslander-Reiten. La théorie d'Auslander-Reiten a été introduite par Maurice Auslander et Iduun Reiten et développée par eux dans plusieurs articles ultérieurs.

Suite presque scindée

Définition

Soit $R$ une algèbre d'Artin. Une suite

$0\to A\to B\to C\to 0$

de modules gauches de type fini sur $R$ est appelée une suite presque scindée (ou suite d'Auslander–Reiten) si elle a les propriétés suivantes :

• La suite n'est pas scindée ;
• $C$ est indécomposable et tout homomorphisme d'un module indécomposable dans $C$ qui n'est pas un isomorphisme se factorise par $B$ ;
• $A$ est indécomposable et tout homomorphisme de $A$ vers un module indécomposable qui n'est pas un isomorphisme se factorise par $B$.

Pour tout module gauche de type fini $C$ qui est indécomposable mais non projectif, il existe une suite presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près. De même, pour tout module gauche de type fini $A$ qui est indécomposable mais non injectif, il existe une suitz presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près.

Le module $A$ dans la suite presque scindée est isomorphe à $D(Tr(C))$, le dual de la transposée de $C$.

Exemple

On prend pour $R$ est l'anneau $k[x]/(x^{n})$ pour un corps $k$ et un entier $n\geq 1$. Les modules indécomposables sont isomorphes à l'un des $k[x]/(x^{m})$ pour $1\leq m\leq n$ et le seul qui est projectif est celui pour $m=n$. Les suites presque scindées sont isomorphes à

$0\rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow k[x]/(x^{m+1})\oplus k[x]/(x^{m-1})\rightarrow k[x]/(x^{m})\rightarrow 0$

pour $1\leq m<n$. Le premier morphisme envoie $a$ sur $(xa,a)$, et le second envoie $(b,c)$ sur $b-xc$.

Carquois d'Auslander-Reiten

Le carquois d'Auslander-Reiten d'une algèbre d'Artin possède un sommet pour chaque module indécomposable et une flèche entre les sommets s'il existe un morphisme irréductible entre les modules correspondants. Il possède une application $\tau =D\ Tr$ appelée translation des sommets non projectifs vers les sommets non injectifs, où $D$ est le dual et $Tr$ la transposée.

Références

• Maurice Auslander, « A functorial approach to representation theory », Lecture Notes in Math., Berlin, New York, Springer-Verlag, vol. 944 « Representations of algebras (Puebla, 1980) »,‎ 1982, p. 105–179 (ISBN 978-3-540-11577-9, DOI 10.1007/BFb0094058, MR 672116)
• Maurice Auslander, « The what, where, and why of almost split sequences », dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1 (Berkeley, Calif., 1986), Providence, R.I., Amer. Math. Soc., 1987 (MR 934232, lire en ligne), p. 338–345
• Maurice Auslander, Idun Reiten et Sverre O. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 36), 1997 (ISBN 978-0-521-59923-8, MR 1314422, présentation en ligne).— Première édition en 1995
• Maurice Auslander, Idun Reiten, Sverre O. Smalø et Øyvind Solberg, Selected works of Maurice Auslander. Part 1, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1999a (ISBN 978-0-8218-0998-3, MR 1674397, présentation en ligne)
• Maurice Auslander, Idun Reiten, Sverre O. Smalø et Øyvind Solberg, =Selected works of Maurice Auslander. Part 2, Providence, R.I., American Mathematical Society, 1999b (ISBN 978-0-8218-1000-2, MR 1674401, lire en ligne)
• Maurice Auslander et Idun Reiten, « Representation theory of Artin algebras. III. Almost split sequences », Communications in Algebra, vol. 3, n^o 3,‎ 1975, p. 239–294 (ISSN 0092-7872, DOI 10.1080/00927877508822046, MR 0379599)
• Peter Gabriel, « Auslander-Reiten sequences and representation-finite algebras », Lecture Notes in Math., Berlin, New York, Springer-Verlag, vol. 831 « Representation theory, I (Proc. Workshop, Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979) »,‎ 1980, p. 1-71 (ISBN 978-3-540-10263-2, DOI 10.1007/BFb0089778, MR 0607140)
• Idun Reiten, « The use of almost split sequences in the representation theory of Artin algebras », Lecture Notes in Math., Berlin, New York, Springer-Verlag, vol. 944 « Representations of algebras (Puebla, 1980) »,‎ 1982, p. 29–104 (ISBN 978-3-540-11577-9, DOI 10.1007/BFb0094057, MR 672115)

Bibliographie

• Claire Amiot, « Raconte-moi ... un carquois », Gazette des mathématiciens, Société mathématique de France, n^o 155,‎ janvier 2018, p. 61-67 (zbMATH 1395.16007, HAL hal-02002244, lire en ligne).
• (en) « Almost-split sequence », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• Lidia Angeleri Hügel, « An Introduction to Auslander-Reiten Theory », Advanced School on Representation Theory and related Topics,‎ 2006 (lire en ligne)