« Module de Specht » : différence entre les versions
Nouvelle page : En mathématiques, et particulièrement en algèbre, un '''module de Specht''' est une représentation des groupes symétriques, étudiée par Wilhelm Specht en 1935<ref>{{harvsp|Specht|1935}}.</ref>. Ces modules sont indexés par des partitions et, en caractéristique 0, les modules de Specht des partitions d'un entier ''n'' forment un ensemble complet de représentations irréductibles du groupe symétrique sur ''n''... |
(Aucune différence)
|
Version du 8 juillet 2021 à 07:13
En mathématiques, et particulièrement en algèbre, un module de Specht est une représentation des groupes symétriques, étudiée par Wilhelm Specht en 1935[1]. Ces modules sont indexés par des partitions et, en caractéristique 0, les modules de Specht des partitions d'un entier n forment un ensemble complet de représentations irréductibles du groupe symétrique sur n éléments.
Définition
On considère une partition v de l'entier n et on fixe un anneau commutatif k . La partition détermine un diagramme de Young à n cases. Un tableau de Young de forme λ est une façon de remplir les cases de ce diagramme de Young par des nombres distincts .
Un tabloïd est une classe d'équivalence de tableaux de Young où deux étiquetages sont équivalents si l'un est obtenu à partir de l'autre en permutant les entrées des lignes. Pour un tableau de Young , on note le tabloïd correspondant. Le groupe symétrique sur n éléments agit sur l'ensemble des tableaux de Young de forme λ. Par conséquent, il agit sur les tabloïds, et sur le k-module libre V engendré par les tabloïds.
Étant donné un tableau de Young T de forme λ, soit
où est le sous-groupe de permutations qui préservant (en tant qu'ensembles) les colonnes de T et où est la signature de la permutation . Le module de Specht de la partition λ est par définition le module engendré par les éléments quand T parcourt l' ensemble des tableaux de forme λ.
Une base du module de Specht est formé des éléments de pour T un tableau de Young standard.
Une introduction à la construction du module de Specht peut être trouvée dans la section 1 du chapitre « Specht Polytopes and Specht Matroids » [2].
Structure
Sur des corps de caractéristique 0, les modules de Specht sont irréductibles et forment un ensemble complet de représentations irréductibles du groupe symétrique.
Sur des corps de caractéristique p >0, la situation est un peu plus complexe : une partition est dite p-régulière si elle ne comporte pas p parties qui sont de même taille positive. En caractéristique p >0, les modules de Specht peuvent être réductibles. Pour les partitions p-régulières, elles ont un quotient irréductible unique, et ces quotients irréductibles forment un ensemble complet de représentations irréductibles.
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Specht module » (voir la liste des auteurs).
Bibliographie
- (en) Henning Haahr Andersen, « Specht modules », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
- Wilhelm Specht, « Die irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe », Mathematische Zeitschrift, vol. 39, no 1, , p. 696–711 (DOI 10.1007/BF01201387)
- Jonathan Brundan, Alexander Kleshchev et Weiqiang Wang, « Graded Specht modules », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 655 61—87, , p. 61—87 (DOI 10.1515/crelle.2011.033, zbMATH 1244.20003, arXiv 0901.0218v3, présentation en ligne).
- Stephen Donkin et Haralampos Geranios, « Decompositions of some Specht modules I », Journal of Algebra, vol. 550, , p. 1–22$ (DOI 10.1016/j.jalgebra.2019.12.017)
- Gordon D. James, The representation theory of the symmetric groups, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 682), (ISBN 978-3-540-08948-3, DOI 10.1007/BFb0067712, MR 513828), « Chapter 4: Specht modules »
- Gordon D. James et Adalbert Kerber, The representation theory of the symmetric group, vol. 16, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications », (ISBN 978-0-201-13515-2, MR 644144, lire en ligne)
- Gordon D. James et Andrew Mathas, « The Irreducible Specht Modules in Characteristic 2 », Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 31, no 4, , p. 457–462 (DOI 10.1112/S0024609399005822).
- Yu Jiang, « On some trivial source Specht modules », Journal of Algebra, vol. 556, , p. 1073–1100 (DOI 10.1016/j.jalgebra.2020.03.028)
- John D. Wiltshire-Gordon, Alexander Woo et Magdalena Zajaczkowska, « Specht Polytopes and Specht Matroids », dans Gregory G. Smith et Bernd Sturmfels (éditeurs), Combinatorial algebraic geometry. Selected papers from the 2016 apprenticeship program, Ottawa, Springer, coll. « Fields Institute Communications » (no 80), , viii+390 (ISBN 978-1-4939-7485-6, zbMATH 1390.05245, arXiv 1701.05277), p. 201-228 [Zbl 1390.05245]