Inégalité de Shapiro

En mathématiques, l'inégalité de Shapiro est une inégalité proposée par H. Shapiro en 1954.

Énoncé de l'inégalité

Supposons que $n$ soit un entier naturel $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ sont des réels positifs, et:

• $n$ est pair et inférieur ou égal à $12$, ou
• $n$ est impair et inférieur ou égal à $23$.

L'inégalité de Shapiro énonce que

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}$

où $x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}$.

Pour de plus grandes valeurs de $n$ l'inégalité ne tient pas et la limite inférieure stricte est $\gamma {\frac {n}{2}}$ avec $\gamma \approx 0.9891\dots$.

Les preuves initiales de l'inégalité dans les cas  $n=12$ (Godunova et Levin, 1976) et $n=23$ (Troesch, 1989) par des calculs numériques. En 2002, P.J. Bushell et J.B. McLeod ont publié une preuve analytique pour $n=12$.

La valeur de $\gamma$ a été déterminé en 1971 par Vladimir Drinfeld, qui a gagné une médaille Fields en 1990. Plus précisément, Drinfeld a montré que la limite inférieure stricte de $\gamma$ est donné par ${\frac {1}{2}}\psi (0)$, où $\psi$ est l'enveloppe convexe de $f(x)=e^{-x}$ et $g(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{\frac {x}{2}}}}$.

Contres exemples pour de grand $n$

Le premier contre-exemple a été trouvé par Lighthill en 1956, pour $n=20$:

$x_{20}=(1+5\epsilon ,\ 6\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 5\epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ \epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+5\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+6\epsilon ,\ 5\epsilon )$ où $\epsilon$ est près de 0.

Ainsi, le membre de gauche vaut $10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})$, donc inférieur à 10 quand $\epsilon$ est assez petit.

Le contre-exemple suivant pour $n=14$ est de Troesch (1985):

$x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)$ (Troesch, 1985)

Références

• A.M. Fink, Recent progress in inequalities. Dedicated to Prof. Dragoslav S. Mitrinović, vol. 430, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers., 1998, 241–248 p. (ISBN 0-7923-4845-1, zbMATH 0895.26001), « Shapiro's inequality »
• P.J. Bushell et J.B. McLeod, « Shapiro's cyclic inequality for even n », J. Inequal. Appl., vol. 7,‎ 2002, p. 331–348 (ISSN 1029-242X, zbMATH 1018.26010, lire en ligne) They give an analytic proof of the formula for even $n\leq 12$, from which the result for all $n\leq 12$ follows. They state $n=23$ as an open problem.

Liens externes

• PlanetMath