Équation de Navier

En mécanique des milieux continus, l’équation de Navier est l'équation qui relie la déformation d'un solide élastique linéaire isotrope aux forces appliquées.

L'équation de Navier

On note $\mathbf {u} \left(\mathbf {x} ,t\right)$ le champ des déplacements et $\mathbf {f} _{v}$ la force volumique qui s'exerce.

On a  :

$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}=\left(\lambda +\mu \right)\mathbf {grad} \left(\mathrm {div} \;\mathbf {u} \right)+\mu \Delta \mathbf {u} +\mathbf {f} _{v}$

où $\lambda$ et $\mu$ sont les coefficients de Lamé du solide et $\rho _{0}$ sa masse volumique. On peut écrire cette équation en fonction du module de Young E et du coefficient de Poisson $\nu$ :

$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}={\frac {E}{2(1+\nu )(1-2\nu )}}\mathbf {grad} \left(\mathrm {div} \;\mathbf {u} \right)+{\frac {E}{2(1+\nu )}}\Delta \mathbf {u} +\mathbf {f} _{v}$

Démonstration

On note ${\boldsymbol {\sigma }}~$ le tenseur des contraintes et ${\boldsymbol {e}}~$ le tenseur des déformations. La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

$\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}=\mathbf {div} {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} _{v}$

D'autre part, on a la loi de Hooke :

${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {e}}\right)\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {e}}$

d'où (en appliquant la sommation sur les indices (Convention de sommation d'Einstein)) :

${\begin{aligned}\left(\mathbf {div} {\boldsymbol {\sigma }}\right)_{i}&=\lambda \left(\mathbf {div} \left(\mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {e}}\right)\mathbf {I} \right)\right)_{i}+2\mu \left(\mathbf {div} {\boldsymbol {e}}\right)_{i}\\\ &=\lambda {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mathrm {Tr} \left({\boldsymbol {e}}\right)\mathbf {I} \right)_{ij}+2\mu {\frac {\partial e_{ij}}{\partial x_{j}}}\\\ &=\lambda {\frac {\partial e_{ll}}{\partial x_{i}}}+2\mu {\frac {\partial e_{ij}}{\partial x_{j}}}\\\ &=\lambda {\frac {\partial ^{2}u_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{l}}}+\mu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\\\ &=(\lambda +\mu ){\frac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}\\\ &=\left(\lambda +\mu \right)(\mathbf {grad} \left(\mathrm {div} \;\mathbf {u} \right))_{i}+\mu (\Delta \mathbf {u} )_{i}\end{aligned}}$

ce qui donne la relation cherchée.

Voir aussi

Articles connexes

• Henri Navier
• Mécanique des milieux continus
• Loi de Hooke