Zéro d'une fonction holomorphe

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En analyse complexe, on appelle zéro d'une fonction holomorphe f un nombre complexe a tel que f(a)=0.

Ordre de multiplicité d'un zéro isolé[modifier | modifier le code]

Dans toute cette section, U désigne un ouvert de ℂ, \scriptstyle f:U\to\C une fonction holomorphe et a (élément de U) un zéro de f.

Il existe un disque ouvert \mathrm{D}(a,r) inclus dans Uf se développe en série entière (de rayon de convergence au moins égal à r) :

\forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r),\, f(z) = \sum_{k = 1}^{+\infty} \alpha_k\, (z - a)^k (le terme constant est \alpha_0=f(a)=0 et les autres coefficients sont \alpha_k=f^{(k)}(a)/k!).

Définition — a est un zéro isolé de f si c'est un point isolé de l'ensemble des zéros de f, c'est-à-dire si, dans un disque de centre a et de rayon suffisamment petit, a est le seul point où f s'annule.

Deux cas (seulement) sont possibles :

  • Si pour tout entier k>0, \alpha_k = 0, alors
\forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r),\, f(z) = 0 : f est identiquement nulle sur \mathrm{D}(a,r) ; a est donc dans ce cas un zéro non isolé.
  • Dans le cas contraire, soit n l'indice du premier coefficient non nul de la série entière (\scriptstyle n\ge1 et \scriptstyle\alpha_n\ne0) : on peut écrire
\forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r),\, f(z) = \sum_{k = n}^{+\infty} \alpha_k\, (z - a)^k = (z - a)^n\, g(z),
\scriptstyle g : \mathrm D(a,\, r) \to\C est définie par :
\forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r),\, g(z) = \sum_{\ell = 0}^{+\infty} \alpha_{\ell + n}\, (z - a)^\ell.
Cette fonction g est analytique et g(a)=\alpha_n est non nul.
Par continuité de g en a, il existe un réel strictement positif r_1<r tel que g ne s'annule pas sur \mathrm{D}(a,r_1).
Finalement, pour tout élément z de \mathrm{D}(a,r_1) :
f(z)=(z-a)^ng(z)\quad\text{et}\quad g(z)\ne0.
On en déduit que a est le seul point de \mathrm{D}(a,r_1)f s'annule ; a est donc dans ce cas un zéro isolé.

On peut résumer ceci par la définition et le théorème suivants.

Définition[modifier | modifier le code]

L'ordre de multiplicité (ou la multiplicité) d'un zéro isolé a de f est l'unique entier n>0 tel que :

  • pour tout entier naturel k<n, f^{(k)}(a)=0~
et
  • f^{(n)}(a)\ne0.

Lorsque n=1, on dit que a est un zéro simple.

Théorème[modifier | modifier le code]

  • a est un zéro isolé d'ordre n de f (si et) seulement s'il existe une fonction holomorphe g, définie sur un disque ouvert \mathrm{D}(a,r) inclus dans U telle que :
    • \forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r),\, f(z) = (z - a)^n\, g(z) et
    • g(a)\ne0.
  • Principe des zéros isolés : si a est un zéro non isolé de f, alors il existe un disque ouvert \mathrm{D}(a,r) inclus dans U sur lequel f est nulle.

Remarque[modifier | modifier le code]

On définit en algèbre la notion analogue d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme non nul, dont celle qui vient d'être définie constitue une généralisation.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soient a un nombre complexe et

f:\C\to\C,~z\mapsto\exp(z)-\exp(a)-(z-a)~\exp(a).

Cette fonction est entière (c'est-à-dire holomorphe sur ℂ) et a en est un zéro isolé d'ordre 2.

On vérifie en effet que

f(a)=f'(a)=0\quad\text{et}\quad f''(a)\ne0.

Application[modifier | modifier le code]

Du principe des zéros isolés on déduit le principe suivant, dont une démonstration est proposée dans l'article Prolongement analytique.

Principe du prolongement analytique[modifier | modifier le code]

Soient U un ouvert connexe de ℂ et deux fonctions f_1,f_2 définies et holomorphes sur U.

Si l'ensemble \scriptstyle\{z \in U\, /\, f_1(z) = f_2(z)\} possède au moins un point non isolé, alors f_1=f_2.

Ou encore :

s'il existe un élément a de U et une suite (z_n) d'éléments de U distincts de a, convergeant vers a, tels que pour tout entier n, f_1(z_n)=f_2(z_n), alors

\forall\, z \in U,\, f_1(z) = f_2(z).

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit U un ouvert connexe de ℂ contenant un intervalle I de ℝ non réduit à un point : les points de I sont non isolés.

Si les fonctions f_1,f_2 sont holomorphes sur U et coïncident sur I, alors elles coïncident sur U.

Cela signifie qu'une fonction de I dans ℂ admet au plus un prolongement analytique à un ouvert connexe U de ℂ contenant I.

  • Ainsi, la fonction exponentielle complexe est le seul prolongement analytique à ℂ de la fonction exponentielle réelle.
  • On suppose connue l'identité \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y) pour tout couple de réels. On peut l'étendre par prolongement analytique à un couple quelconque de nombres complexes. En effet :
    • Soit y un réel quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes f_1,f_2 en posant f_1(z)=\exp(z+y) et f_2(z)=\exp(z)\exp(y). Ces deux fonctions coïncident sur ℝ, donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe z, \exp(z+y)=\exp(z)\exp(y), et cela pour tout réel y.
    • Soit z un complexe quelconque. On définit sur ℂ (ouvert connexe) deux fonctions holomorphes f_3,f_4 en posant f_3(u)=\exp(z+u) et f_4(u)=\exp(z)\exp(u). Ces deux fonctions coïncident sur ℝ (d'après le point précédent), donc (principe du prolongement analytique) sur ℂ : pour tout complexe u, \exp(z + u)=\exp(z)\exp(u), et cela pour tout complexe z.

Nombre de zéros[modifier | modifier le code]

Le principe de l'argument permet de donner le nombre de zéros d'une fonction holomorphe, comptés avec multiplicité, inclus dans un disque.

Si F est holomorphe sur un voisinage d'un disque fermé D tel que F ne s'annule pas sur le bord du disque, la formule suivante donne le nombre de zéros de F, comptés avec multiplicité, dans le disque D :

\frac1{2i\pi}\oint_{\partial D} \frac {F'(\xi)}{F(\xi)}~\mathrm d\xi.