Variable de contrôle

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Pour la méthode de Monte-Carlo, une variable de contrôle peut être utilisée afin d'obtenir une réduction de la variance, en exploitant la corrélation entre plusieurs statistiques.

Exposé du principe[modifier | modifier le code]

On cherche à estimer le paramètre µ, et on dispose d'une estimation m non-biaisée de µ ; autrement dit, . On dispose d'une autre statistique t, telle que , et sa corrélation avec m, , est connue. En supposant connues toutes ces constantes, on peut construire un nouvel estimateur, pour une constante c donnée:

On montre que cet estimateur est un estimateur non-biaisé de µ, quel que soit le choix de la constante c. En outre, on peut montrer que le choix

permet de minimiser la variance de . Pour ce choix de c, la variance de l'estimateur vaut alors

;

Par construction, la variance de sera inférieure à celle de l'estimateur initial m, d'où le terme de réduction de variance. Plus la corrélation est importante, plus la réduction de la variance sera importante.

Lorsque les écart-type , , ou la corrélation sont inconnus, on peut les remplacer par leurs estimations empiriques.

Exemple[modifier | modifier le code]

On souhaite évaluer

dont la vraie valeur est . Puisque cette intégrale peut être vue comme l'espérance de , avec la loi uniforme continue et , une estimation de Monte-Carlo est envisageable.

L'estimation classique se base sur un échantillon de n tirages de la loi uniforme et vaut

On introduit comme variable de contrôle . Cette variable est uniforme, son espérance vaut 3/2 et sa variance 1/12. Par construction, sa covariance avec est

.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on peut continuer à évaluer exactement toutes les autres quantités entrant en jeu dans la méthode ; mais le plus pratique reste de remplacer tous les moments par leur contrepartie empirique. Avec un échantillon de réplications, on trouve , et . La constante optimale vaut -0,48175. On trouve les résultats suivants :

Estimation Variance
Monte Carlo basique 0,69631 0,02015
Monte Carlo – contrôle 0,69356 0,00063

Grâce à la corrélation massivement négative avec la variable de contrôle, on parvient à réduire très significativement la variance de l'estimateur de Monte-Carlo.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) M. Kahn et A. W. Marshall, Methods of reducing sample size in Monte-Carlo computations, Operations Research, 1, 263, 1953.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Averill M. Law & W. David Kelton, Simulation Modeling and Analysis, 3e édition, 2000, ISBN 0-07-116537-1
  • (en) S. P. Meyn. Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press, 2007. ISBN 9780521884419. en ligne

Liens internes[modifier | modifier le code]