L'expérience aléatoire consiste à choisir au hasard une des molécules du gaz et à mesurer sa vitesse . Soit une vitesse fixée.
Or sous hypothèse d'entropie maximale les variables aléatoires , et sont indépendantes et on peut alors écrire :
Or sous hypothèse d'isotropie les lois de probabilité de , et sont identiques et donc :
Ce qui s'écrit encore, avec la densité de :
Or sous hypothèse d'isotropie la probabilité que ne peut dépendre que de la norme de ; autrement dit :
C'est-à-dire en utilisant la relation ci-dessus :
En égalisant les deux expressions trouvées pour , on peut alors écrire une propriété de :
En posant : , et en prenant , il vient :
C'est-à-dire, en supposant
où l'on reconnaît que la fonction est une exponentielle, c'est-à-dire :
Donc, puisque , il vient :
Pour déterminer les coefficients et , écrivons d'abord :
c'est-à-dire :
c'est-à-dire en utilisant la symétrie et en changeant de variable :
en calculant l'intégrale il vient :
Intéressons-nous désormais à l'énergie cinétique moyenne d'une molécule de gaz. Elle s'écrit naturellement :
où est la masse d'une molécule de gaz et l'espérance de la variable aléatoire . On a évidemment . En utilisant l'indépendance des variables aléatoires il vient : ; et sous hypothèse d'istropie on a alors :
- .
Or on connaît la densité de donc on peut écrire :
On utilise un changement de variable :
et donc en utilisant comme montré ci-dessus :
En reportant dans l'expression de il vient :
Or on peut écrire d'autre part :
avec la température du gaz. En égalisant ces deux expressions de on obtient :
En reportant dans l'expression de il vient :
On a donc montré :
On en déduit :