Utilisateur:Némo Sv/Brouillon2

Démonstration

Il existe deux entiers a impair et b tels que k = a 2^b. En posant c = 2^(2b), on dispose alors des égalités suivantes :

$2^{k}+1=c^{a}+1=(c+1)\sum _{i=0}^{a-1}(-1)^{i}c^{i},$

qui montrent que c + 1 est un diviseur du nombre premier 2^k + 1 et donc lui est égal, si bien que k = 2^b.

Démonstrations

• Tout facteur premier p d'un nombre de Fermat F_n est de la forme k.2ⁿ⁺¹ + 1, où k est un entier.
  Modulo p, F_n est congru à 0 donc 2²ⁿ est congru à –1, si bien que l'ordre multiplicatif de 2 dans l'anneau ℤ/pℤ est égal à 2ⁿ⁺¹. Or cet ordre multiplicatif est un diviseur de p – 1, ce qui termine la démonstration.
• $F_{5}=641\times 6~700~417.$
  On peut le vérifier par un simple calcul, mais expliquons comment Euler découvrit le diviseur 641. On cherche un entier k tel que le nombre p = 64k + 1 soit à la fois premier et diviseur strict de F₅. Les premières valeurs de k ne conviennent pas, mais dès k = 10, on constate que p = 641 est premier et que modulo p,
  $-~2^{4}\equiv 5^{4}{\text{ donc }}-2^{32}\equiv 5^{4}\times 2^{28}=(5\times 2^{7})^{4}=640^{4}\equiv (-1)^{4}=1{\text{ et }}F_{5}\equiv 0$.

Démonstration

Tout facteur premier p de $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ peut s'écrire sous la forme $k2^{n+2}+1$ pour n > 1.

D'après la démonstration précédente, p est de la forme $k2^{n+1}+1$.

Édouard Lucas est allé plus loin :

Comme n > 1, p est congru à 1 modulo 8. D'après la deuxième loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique, 2 est donc un résidu quadratique modulo p, c'est-à-dire qu'il existe un entier a tel que $a^{2}\equiv 2{\pmod {p}}$.

Il est également possible de remarquer directement que 2 est un résidu quadratique modulo p, car

$\left(2^{2^{n-1}}+1\right)^{2}\equiv 2^{2^{n}}+1+2^{2^{n-1}+1}\equiv F_{n}+2^{2^{n-1}+1}\equiv 2^{2^{n-1}+1}{\pmod {p}}.$

Comme une puissance impaire de 2 est un résidu quadratique modulo p, 2 lui-même en est un aussi.

On a alors $a^{2^{n+1}}\equiv \ (a^{2})^{2^{n}}\equiv \ 2^{2^{n}}\equiv \ -1{\pmod {p}}$, et

$a^{2^{n+2}}\equiv \ 2^{2^{n+1}}\equiv \ 1{\pmod {p}}$.

Ainsi l'ordre de a modulo p est égal à $2^{n+2}$, et d'après le petit théorème de Fermat, p − 1 est donc divisible par $2^{n+2}$ ; p peut alors s'écrire sous la forme $s2^{n+2}+1$.