Utilisateur:INSA-4GP-gr5/Brouillon2

Une paroi de Bloch est une zone de transition entre deux domaines de Weiss dans un matériau. C'est une région où les moments magnétiques changent graduellement d'un domaine de Weiss à l'autre, dans un axe perpendiculaire à la paroi.

En a), une transition brutale entre deux domaines de Weiss. En b), une transition progressive. Cette zone est appelée paroi de Bloch

Origine de la paroi de Bloch

L’origine de la paroi de Bloch s’explique par le fait qu’une transition graduelle comme sur la figure b) est beaucoup moins coûteuse en énergie que la transition abrupt de la figure a).

Pour prouver cette origine, on peut considérer un cristal comme une chaîne linéaire de groupe d’atomes. Chaque groupe d’atome peux être modélisé par un moment magnétique.

L’interaction $E_{i,j}$ entre deux moment voisin i, j s'écrit:

$E_{i,j}=-EM_{i}M_{j}$ avec E>0

Dans le cas d’une transition brutale a) il n’y a qu’une seule paire de groupe d’atome en opposition. L'énergie supplémentaire peut s’écrire:

$E_{a}=EM_{i}^{2}-(-EM_{i}^{2})$ soit $E_{a}=2EM_{i}^{2}$

Si la transition est graduelle, l'énergie supplémentaire est différente. Il faut faire l'hypothèse d’une rotation régulière des moment, cette rotation se fait sur n distances interatomiques.

On peut donc en déduire que l’angle entre deux moments consécutifs vaut π/n.

L’interaction entre deux moments voisins s’écrit:

$E_{b}=-EM_{i}^{2}\cos({\frac {\pi }{n}})-(-EM_{i}^{2})$

Pour un n suffisamment grand, on peux approximer par un développement limité et on obtient $E_{b}=-EM_{i}^{2}({\frac {\pi ^{2}}{2n^{2}}})-(-EM_{i}^{2})$

Il existe n interactions, l’interaction totale pour l’ensemble de la chaîne vaut:

$E_{b}=EM_{i}^{2}({\frac {\pi ^{2}}{2n}})$

on voit que cette valeur est plus faible en énergie qu'une transition brutale. $E_{b}=EM_{i}^{2}({\frac {\pi ^{2}}{2n}})<E_{a}$

On pourrai penser que plus n est grand plus l’énergie est petite et donc qu'il serai plus favorable d’étendre à l'infini les rotations des moments magnétiques. Mais cette équation ne prend pas en compte l’énergie magnétocristalline qu'il faudrait prendre en compte afin d'avoir une structure d’équilibre avec un nombre de rotations limité.

Energie d'une paroi de Bloch

L'énergie de forme (aussi appelée énergie magnétostatique) du matériau est diminuée lorsque l'aimantation d'un matériau est divisé en domaines magnétiques. Cependant, la transition entre ces domaines magnétiques se fait grâce à une paroi qui a un coût énergétique. L'énergie associée à la paroi est composée d'un terme d'énergie d'échange et d'un terme d'énergie magnétocristalline. L'énergie magnétocristalline tend à aligner les aimantations selon l'axe d'anisotropie (paroi courte) tandis que l'énergie d'échange tend à imposer un angle faible entre les aimantations (paroi longue). La paroi est établie lorsque l'énergie totale est minimisée.

L'énergie d'échange pour un atome de la paroi, pour $\varphi$ petit, vaut :

$E_{ech}=-2JS^{2}.cos(\varphi _{ij})$ entre deux moments magnétiques i et j. On peut étendre cette relation à tous les atomes d'une cellule en supposant $\varphi$ petit.

$E_{ech}=-2A.cos({\frac {d\varphi }{dx}})$ où $A={\frac {nJS^{2}}{a}}$, la constante d'échange avec n le nombre d'atomes par cellule et a le paramètre de maille.

On peut faire un développement limité pour $\varphi$ petit :

$E_{ech}=-2A+A({\frac {d\varphi }{dx}})^{2}$

En l'absence de paroi, les moments magnétiques seraient parallèles entre eux et l'énergie d'échange vaudrait $E_{ech}=-2A$.

La présence de la paroi conduit à une augmentation de l'énergie d'échange $\Delta E_{ech}=A({\frac {d\varphi }{dx}})^{2}$.

L'énergie magnétocristalline associée à la paroi, est une fonction $g(\varphi )$. En faisant l'hypothèse d'une anisotropie uniaxiale, vaut pour un atome : $E_{mc}=g(\varphi )=K.\sin ^{2}{(\varphi )}$.avec K une constante.

Pour une rangée d'atomes, on a :

$E_{mc}=K\sum \limits _{n=0}^{N}\sin ^{2}{(\varphi )}$

$E_{ech}=-2NA+A\sum _{n=0}^{N}({\frac {d\varphi }{dx}})^{2}$

La somme discrète sur $n$ est transformée en une intégrale continue sur $x$.

$E_{paroi}=E_{ech}+E_{mc}=\int _{-\infty }^{+\infty }A({d\varphi \over dx})^{2}+K.sin^{2}(\varphi )dx$

Il faut maintenant trouver une relation entre $x$ et $\varphi$. On peut résonner en termes de moment :

$L_{ech}={dE_{ech} \over d\varphi }=A{\partial (\partial \varphi /\partial x)^{2} \over \partial \varphi }=2A{\partial \varphi \over \partial x}.{\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}.{\partial x \over \partial \varphi }=2A{d^{2}\varphi \over dx^{2}}$

$L_{mc}={dE_{mc} \over d\varphi }={dg(\varphi ) \over d\varphi }$

A l'équilibre, les deux moments doivent se compenser (même norme et sens opposés).

${dg(\varphi ) \over d\varphi }+2A{d^{2}\varphi \over dx^{2}}$ = 0

En multipliant chaque terme par ${d\varphi \over dx}$ et en intégrant selon $x$, on obtient :

$\int _{x}{d\varphi \over dx}.{dg(\varphi ) \over d\varphi }dx=g(\varphi )$

$\int _{x}{d\varphi \over dx}2A.{d^{2}\varphi \over dx^{2}}dx=2A\int _{x}{d\varphi \over dx}.{1 \over 2}.{d(d\varphi /dx) \over dx}dx=A.({d\varphi \over dx})^{2}$

d'où :

$A({d\varphi \over dx})^{2}=g(\varphi )<=>{d\varphi \over dx}={\sqrt {g(\varphi ) \over A}}<=>dx={\sqrt {A}}.{d\varphi \over {\sqrt {g(\varphi )}}}$

On en déduit l'énergie sachant qu'à l'équilibre $A({d\varphi \over dx})^{2}=g(\varphi )$ :

$E_{paroi}=\int _{-\infty }^{+\infty }2.g(\varphi )dx$ avec $dx={\sqrt {A}}.{d\varphi \over {\sqrt {g(\varphi )}}}$

$E_{paroi}=2{\sqrt {A}}\int _{0}^{\pi }{\sqrt {g(\varphi )}}d\varphi$

Pour une anisotropie uniaxiale :

$E_{paroi}=2{\sqrt {AK}}\int _{0}^{\pi }{\sqrt {sin^{2}(\varphi )}}d\varphi =2{\sqrt {AK}}[-cos(\varphi )]_{0}^{\pi }=4{\sqrt {AK}}$.

Largeur paroi de Bloch

La largeur d'une paroi de domaine dépend des deux énergies opposées qui la créent : l'énergie due à l'anisotropie magnéto-cristalline et l'énergie d'échange, les deux tendant vers un minimum pour être dans un état énergétique plus favorable. L'énergie d'anisotropie est minimale lorsque les moments magnétiques individuels sont alignés parallèlement à la structure du cristal, diminuant ainsi la largeur de la paroi. L'énergie d'échange en revanche diminue lorsque les moments magnétiques sont alignés entre eux, ce qui a pour effet d'élargir la paroi à cause des répulsions. L'équilibre final est intermédiaire et la largeur de la paroi est ainsi fixée. Une forte énergie magnétocristalline conduit à une faible largeur de paroi alors qu'une forte énergie d'échange conduit à une paroi plus large.

On sait, d'après les calculs précédents que :

$dx={\sqrt {A}}.{d\varphi \over {\sqrt {g(\varphi )}}}$

$x={\sqrt {A}}\int {d\varphi \over {\sqrt {g(\varphi )}}}={\sqrt {A \over K}}\int {d\varphi \over sin\varphi }$. On trouve ainsi la relation entre $x$ et $\varphi$ :

$x={\sqrt {A \over K}}.ln(tan({\varphi \over 2}))$

On remarque que la distance dans la paroi tend vers l'infini. On peut cependant définir une valeur arbitraire de la paroi en connaissant la pente de $\varphi$ en fonction de $x$.

Courbe illustrant la variation de l'aimantation en fonction de la distance en unité ${\sqrt {K \over A}}$

${d\varphi \over dx}={\sqrt {g(\varphi ) \over A}}$, pour un cristal présentant une anisotropie uniaxiale, $g(\varphi )=K.\sin ^{2}{(\varphi )}$.

On choisit de prendre la pente au milieu de la paroi soit ${d\varphi \over dx}={\sqrt {K \over A}}$ pour $\varphi$=90° ($\pi \over 2$).

On cherche la solution pour $\varphi$ = 0 et $\varphi$=180.

On trouve finalement que la longueur de la paroi vaut $\lambda =\pi {\sqrt {A \over K}}$.

Dans certaines géométries, il se peut que l'aimantation passe alors par une autre axe de facile aimantation et créer des parois avec une aimantation différente. Cependant, le phénomène de magnétostriction apporter une énergie supplémentaire associée à la paroi. Selon les propriétés du matériau, ce cas pourra être observé. Dans le cas d'un système cubique, on pourra voir l'apparition de domaines où l'aimantation varie de 90° au lieu de 180° habituellement.

Bibliographie

•  Pierre Brissoneau, magnétisme et matériaux magnétiques pour l’électronique, HERMES,1997
• R. Becker. La dynamique de la paroi de Bloch et la perméabilité en haute fréquence. J. Phys.Radium, 1951, 12 (3), pp.332-338
• B.D. Cullity, C.D. Graham, Introduction to magnetic marerials, IEEE Press, 2009 (ISBN 978-0-471-47741-9)